Рівняння - що таке? Визначення терміна, приклади

В курсі шкільної математики, дитина вперше чує термін "рівняння". Що таке це, спробуємо розібратися разом. У цій статті розглянемо види і способи вирішення.

Математика. рівняння

Для початку пропонуємо розібратися з самим поняттям, що це таке? Як свідчать багато підручників математики, рівняння - це деякі вирази, між якими стоїть обов`язково знак рівності. У цих виразах присутні букви, так звані змінні, значення яких і необхідно знайти.

Що таке змінна? Це атрибут системи, який змінює своє значення. Наочним прикладом змінних є:

• Температура повітря;
• зріст дитини;
• вага і так далі.

У математиці вони позначаються буквами, наприклад, х, а, b, с ... Зазвичай завдання з математики звучить наступним чином: знайдіть значення рівняння. Це означає, що необхідно знайти значення даних змінних.

різновиди

Рівняння (що таке, ми розібрали в попередньому пункті) може бути такого вигляду:

• лінійні;
• квадратні;
• кубічні;
• алгебраїчні;
• трансцендентні.

Для більш детального знайомства з усіма видами, розглянемо кожен окремо.

лінійне рівняння

Це перший вид, з яким знайомляться школярі. Вони вирішуються досить-таки швидко і просто. Отже, лінійне рівняння, що таке? Цей вислів виду: ах = с. Так не особливо зрозуміло, тому наведемо кілька прикладів: 2х = 26- 5х = 40 1,2х = 6.

Розберемо приклади рівнянь. Для цього нам необхідно всі відомі дані зібрати з одного боку, а невідомі в інший: х = 26/2-х = 40/5 х = 6 / 1,2. Тут використовувалися елементарні правила математики: а * с = е, з цього з = е / а- а = е / с. Для того щоб завершити рішення рівняння, виконаємо одну дію (в нашому випадку поділ) х = 13- х = 8- х = 5. Це були приклади на множення, тепер переглянемо на віднімання і додавання: х + 3 = 9-10х-5 = 15. Відомі дані переносимо в одну сторону: х = 9-3- х = 20/10. Виконуємо останню дію: х = 6 х = 2.

Також можливі варіанти лінійних рівнянь, де використовується більше однієї змінної: 2х-2у = 4. Для того щоб вирішити, необхідно до кожної частини додати 2у, у нас виходить 2х-2у + 2у = 4-2у, як ми помітили, по ліву частину знака рівності -2у і + 2у скорочуються, при цьому у нас залишається: 2х = 4 -2у. Останнім кроком ділимо кожну частину на два, отримуємо відповідь: ікс дорівнює два мінус ігрек.

Завдання з рівняннями зустрічаються навіть на папірусах Ахмеса. Ось одне із завдань: число і четверта його частина дають в сумі 15. Для її вирішення ми записуємо наступне рівняння: ікс плюс одна четверта ікс дорівнює п`ятнадцяти. Ми бачимо ще один приклад лінійного рівняння, за підсумком рішення, отримуємо відповідь: х = 12. Але це завдання можна вирішити і іншим способом, а саме єгипетським або, як його називають по-іншому, способом припущення. У папірусі використовується наступне рішення: візьміть чотири і четверту її частину, тобто одиницю. В сумі вони дають п`ять, тепер п`ятнадцять необхідно розділити на суму, ми отримуємо три, останньою дією три множимо на чотири. Ми отримуємо відповідь: 12. Чому ми в рішенні п`ятнадцять ділимо на п`ять? Так дізнаємося, у скільки разів п`ятнадцять, тобто результат, який нам необхідно отримати, менше п`яти. Таким способом вирішували завдання в середні століття, він став зватися методом помилкового положення.

Квадратні рівняння

Крім розглянутих раніше прикладів, існують і інші. Які саме? Квадратне рівняння, що таке? Вони мають вигляд ax²+bx + c = 0. Для їх вирішення необхідно ознайомитися з деякими поняттями і правилами.

По-перше, потрібно знайти дискримінант за формулою: b²-4ac. Є три варіанти результату рішення:

Відео: Редокс. Основні поняття і класифікація з прикладами.

• дискриминант більше нуля;
• менше нуля;
• дорівнює нулю.

У першому варіанті ми можемо отримати відповідь з двох коренів, які знаходяться за формулою: -b + -корінь з дискримінанту розділені на подвоєний перший коефіцієнт, тобто 2а.

У другому випадку коренів у рівняння немає. У третьому випадку корінь знаходиться за формулою: -b / 2а.

Розглянемо приклад квадратного рівняння для докладнішого знайомства: три ікс в квадраті мінус чотирнадцять ікс мінус п`ять дорівнює нулю. Для початку, як і писалося раніше, шукаємо дискриминант, в нашому випадку він дорівнює 256. Відзначимо, що отримане число більше нуля, отже, ми повинні отримати відповідь складаються з двох коренів. Підставляємо отриманий дискриминант в формулу знаходження коренів. В результаті ми маємо: ікс дорівнює п`яти і мінус однієї третьої.

Особливі випадки в квадратних рівняннях

Це приклади, в яких деякі значення рівні нулю (а, b або с), а можливо і кілька.

Для прикладу візьмемо наступне рівняння, яке є квадратним: два ікс в квадраті дорівнює нулю, тут ми бачимо, що b і з дорівнюють нулю. Спробуємо його вирішити, для цього обидві частини рівняння ділимо на два, ми маємо: х²= 0. У підсумку отримуємо х = 0.

Інший випадок 16х²-9 = 0. Тут тільки b = 0. Вирішимо рівняння, вільний коефіцієнт переносимо в праву частину: 16х²= 9, тепер кожну частину ділимо на шістнадцять: х²= Дев`ять шістнадцятих. Так як у нас х в квадраті, то корінь з 9/16 може бути як негативним, так і позитивним. Відповідь записуємо наступним чином: ікс дорівнює плюс / мінус три четвертих.

Можливий і такий варіант відповіді, як у рівняння коренів зовсім немає. Подивимося на такий приклад: 5х²+80 = 0, тут b = 0. Для вирішення вільний член перекидаєте в праву сторону, після цих дій отримуємо: 5х²= -80, Тепер кожну частину ділимо на п`ять: х<sup>2</sup>= Мінус шістнадцять. Якщо будь-яке число звести в квадрат, то від`ємне значення ми не отримаємо. З цього наша відповідь звучить так: у рівняння коренів немає.

розкладання трехчлена

Завдання по квадратних рівнянь може звучати і іншим чином: розкласти квадратний тричлен на множники. Це можливо здійснити, скориставшись наступною формулою: а (х-х₁) (Х-х₂). Для цього, як і в іншому варіанті завдання, необхідно знайти дискримінант.

Розглянемо наступний приклад: 3х²-14х-5, розкладіть тричлен на множетели. Знаходимо дискримінант, користуючись уже відомої нам формулою, він виходить рівним 256. Відразу відзначаємо, що 256 більше нуля, отже, рівняння матиме два кореня. Знаходимо їх, як в попередньому пункті, ми маємо: х = п`ять і мінус одна третя. Скористаємося формулою для розкладання трехчлена на множетели: 3 (х-5) (х + 1/3). У другій скобці ми отримали знак одно, тому що у формулі стоїть знак мінуса, а корінь теж негативний, користуючись елементарними знаннями математики, в сумі ми маємо знак плюса. Для спрощення, перемножимо перший і третій член рівняння, щоб позбутися від дробу: (х-5) (х + 1).

Рівняння зводяться до квадратного

В даному пункті навчимося вирішувати більш складні рівняння. Почнемо відразу з прикладу:

(x² - 2x)² - 2 (x² - 2x) - 3 = 0. Чи можемо помітити повторювані елементи: (x² - 2x), нам для вирішення зручно замінити його на іншу змінну, а далі вирішувати звичайне квадратне рівняння, відразу відзначаємо, що в такому завданні ми отримаємо чотири кореня, це не повинно вас лякати. Позначаємо повторення змінної а. Ми отримуємо: а²-2а-3 = 0. Наш наступний крок - це знаходження дискримінанту нового рівняння. Ми отримуємо 16, знаходимо два кореня: мінус один і три. Згадуємо, що ми робили заміну, підставляємо ці значення, в результаті ми маємо рівняння: x² - 2x = -1- x² - 2x = 3. Вирішуємо їх в першому відповідь: х дорівнює одиниці, в другому: х дорівнює мінусу одному і трьом. Записуємо відповідь наступним чином: плюс / мінус один і три. Як правило, відповідь записують в порядку зростання.

кубічні рівняння

Розглянемо ще один можливий варіант. Йтиметься про кубічних рівняннях. Вони мають вигляд: ax ³ + b x ² + cx + d = 0. Приклади рівнянь ми розглянемо далі, а для початку трохи теорії. Вони можуть мати три кореня, так само існує формула для знаходження дискримінанту для кубічного рівняння.

Розглянемо приклад: 3х³+4х²+2х = 0. Як його вирішити? Для цього ми просто виносимо х за дужки: х (3-х²+4х + 2) = 0. Все що нам залишається зробити - це обчислити корінь рівняння в дужках. Дискримінант квадратного рівняння в дужках менше нуля, виходячи з цього, вираз має корінь: х = 0.

Алгебра. рівняння

Відео: Рівняння з модулем. (Розкриття по визначенню) 8 клас

Переходимо до наступного вигляду. Зараз ми коротко розглянемо рівняння алгебри. Одне із завдань звучить наступним чином: методом угруповання розкласти на множетели 3х⁴+2х³+8х²+2х + 5. Найзручнішим способом буде наступна угруповання: (3х⁴+3х²) + (2х³+2х) + (5х²+5). Зауважимо, що 8х² з першого виразу ми представили у вигляді суми 3х² і 5х². Тепер виносимо з кожної дужки загальний множник 3х²(Х2 + 1) +2 х (х²+1) +5 (х²+1). Ми бачимо, що у нас є спільний множник: ікс в квадраті плюс один, виносимо його за дужки: (х²+1) (3х²+2х + 5). Подальше розкладання неможливо, так як обидва рівняння мають негативний дискриминант.

трансцендентні рівняння

Пропонуємо розібратися з наступним типом. Це рівняння, які містять трансцендентні функції, а саме логарифмічні, тригонометричні або показові. Приклади: 6sin²x + tgx-1 = 0, х + 5lgx = 3 і так далі. Як вони вирішуються ви дізнаєтеся з курсу тригонометрії.

функція

Завершальним етапом розглянемо поняття рівняння функції. На відміну від попередніх варіантів, даний тип не вирішується, а по ньому будується графік. Для цього рівняння варто добре проаналізувати, знайти всі необхідні точки для побудови, обчислити точку мінімуму і максимуму.