Завдання, які вирішуються за допомогою рівняння. Рішення задач з математики

В курсі шкільної математики обов`язково зустрічаються завдання. Деякі приборкуються в кілька дій, інші вимагають деякої головоломки.

Завдання, які вирішуються за допомогою рівняння, тільки на перший погляд важкі. Якщо потренуватися, то цей процес дійде до автоматизму.

Геометричні фігури

Для того щоб зрозуміти питання, потрібно вникнути в суть. Уважно вчитуйтесь в умова, краще перечитати кілька разів. Завдання на рівняння тільки на перший погляд важкі. Розглянемо приклад для початку найпростіший.

Дан прямокутник, необхідно знайти його площу. Дано: ширина на 48% менше довжини, периметр прямокутника становить 7,6 сантиметра.

Рішення задач з математики вимагає уважного вчитування, логіки. Давайте разом з нею впораємося. Що потрібно в першу чергу врахувати? Позначимо довжину за х. Отже, в нашому рівнянні ширина складе 0,52х. Нам дано периметр - 7,6 сантиметра. Знайдемо напівпериметр, для цього 7,6 сантиметра розділимо на 2, він дорівнює 3,8 сантиметра. У нас вийшло рівняння, за допомогою якого ми знайдемо довжину і ширину:

0,52х + х = 3,8.

Коли ми отримаємо х (довжину), неважко буде знайти і 0,52х (ширину). Якщо ми знаємо ці дві величини, то знаходимо відповідь на головне питання.

Завдання, які вирішуються за допомогою рівняння, не такі складні, як здаються, це ми могли зрозуміти з першого прикладу. Ми знайшли довжину х = 2,5 сантиметра, ширину (обознчім у) 0,52х = 1,3 сантиметра. Переходимо до площі. Вона знаходиться за простою формулою S = х * у (Для прямокутників). У нашій задачі S = 3,25. Це і буде відповіддю.

Відео: Рівняння для вирішення завдань. 6 клас

Розглянемо ще приклади розв`язання задач з перебуванням площі. І в цей раз візьмемо прямокутник. Рішення задач з математики на знаходження периметра, площі різних фігур зустрічається досить часто. Читаємо умову задачі: дан прямокутник, його довжина на 3,6 сантиметра більше ширини, яка становить 1/7 периметра фігури. Знайти площу даного прямокутника.

Зручно буде позначити ширину за змінну х, а довжину за (х + 3,6) сантиметра. Знайдемо периметр:

Р = 2х + 3,6.

Ми не можемо вирішити рівняння, так як маємо в ньому дві змінні. Тому дивимося ще раз умова. Там сказано, що ширина дорівнює 1/7 периметра. Отримуємо рівняння:

1/7 (2х + 3,6) = х.

Для зручності рішення помножимо кожну частину рівняння на 7, так ми позбавляємося від дробу:

2х + 3,6 = 7х.

Після рішення ми отримуємо х (ширину) = 0,72 сантиметра. Знаючи ширину, знаходимо довжину:

0,72 + 3,6 = 4,32 см.

Тепер нам відомі довжина і ширина, відповідаємо на головне питання про те, чому дорівнює площа прямокутника.

S = х * у, S = 3,1104 см.

Бідони з молоком

Рішення задач за допомогою рівнянь викликає чимало труднощів у школярів, незважаючи на те що ця тема починається в четвертому класі. Є безліч прикладів, ми розглянули на знаходження площі фігур, тепер трохи відвернемося від геометрії. Подивимося прості завдання зі складанням таблиць, вони допомагають візуально: так краще видно дані, що допомагають у вирішенні.

Запропонуйте дітям прочитати умову задачі і скласти таблицю, що допомагає складання рівняння. Ось умова: є два бідони, в першому в три рази більше молока, ніж у другому. Якщо з першого перелити п`ять літрів в другій, то молока виявиться порівну. Питання: скільки було молока в кожному бідоні?

Для допомоги у вирішенні необхідно скласти таблицю. Як вона повинна виглядати?

Як це допоможе в складанні рівняння? Нам відомо, що в результаті молока стало порівну, значить рівняння буде виглядати наступним чином:

3х - 5 = х + 5

2х = 10

Відео: Заняття 3 Економічні завдання, які вирішуються за допомогою лінійних рівнянь

х = 5.

Ми знайшли первоночально кількість молока у другому бідоні, значить, в першому було: 5 * 3 = 15 літрів молока.

Тепер трохи пояснень по складанню таблиці.

Чому ми перший бідон позначили за 3х: в умови обумовлено, що в другому бідоні молока в три рази менше. Потім читаємо, що з першого бідона злили 5 літрів, отже стало 3х - 5, а в другій налили: х + 5. Чому ми поставили знак рівності між цими умовами? В умові задачі сказано, що молока стало порівну.

Так ми отримуємо відповідь: перший бідон - 15 літрів, другий - 5 літрів молока.

визначення глибини

За умовою завдання: глибина першої свердловини на 3,4 метра більше другий. Першу свердловину збільшили на 21,6 метра, а другу - в три рази, після цих дій свердловини мають однакову глибину. Потрібно розрахувати, яку глибину мала кожна свердловина спочатку.

Методи вирішення завдань численні, можна робити по діям, складати рівняння або їх систему, але найбільш зручний другий варіант. Щоб перейти до вирішення, сотавом таблицю, як в попередньому випадку.

Переходимо до складання рівняння. Так як свердловини стали однакової глибини, то воно має такий вигляд:

х + 3,4 + 21,6 = 3х

х - 3-х = -25-

-2х = -25-

х = -25 / -2-

х = 12,5

Ми знайшли первісну глибину другої свердловини, тепер можемо знайти першу:

12,5 + 3,4 = 15,9 м.

Після виконаних дій записуємо відповідь: 15,9 м, 12,5 м.

Два брата

Зверніть увагу, що дана задача відрізняється від усіх попередніх, так як за умовою спочатку була однакова кількість предметів. Виходячи з цього, допоміжна таблиця складається в зворотному порядку, тобто від "стало" до "було".

Умова: двом братам дали порівну горіхів, але старший віддав своєму братику 10, після цього горішків у молодшого стало в п`ять разів більше. Скільки ж зараз горіхів у кожного хлопчика?

Складаємо рівняння:

х + 10 = 5х - 10

-4х = -20-

х = 5 - стало горіхів у старшого брата;

5 * 5 = 25 - у молодшого брата.

Тепер можна записати відповідь: 5 орехов- 25 горіхів.

покупки

В школу потрібно купити книги і зошити, перші дорожче друге на 4,8 рублів. Потрібно розрахувати, скільки коштує одна зошит і одна книга, якщо при покупці п`яти книг і двадцять одного зошита заплатили однакову суму грошей.

Відео: Є два шматка металу масою 1 кг і 2 кг Яке процентний вміст міді в початкових шматках

Перш ніж переходити до вирішення, варто відповісти на наступні питання:

• Про що йде мова в задачі?
• Скільки заплатили?
• Що купували?
• Які величини можна між собою вирівняти?
• Що потрібно дізнатися?
• Яку величину прийняти за х?

Якщо ви відповіли на всі питання, то переходимо до вирішення. В даному прикладі за величину х можна прийняти як ціну одного зошита, так і вартість книги. Розглянемо два можливих варіанти:

1. х - вартість одного зошита, тоді х + 4,8 - ціна книги. Виходячи з цього, отримуємо рівняння: 21х = 5 (х + 4,8).
2. х - вартість книги, тоді х - 4,8 - ціна зошита. Рівняння має вигляд: 21 (х - 4,8) = 5х.

Можете собі вибрати більш зручний варіант, далі вирішимо два рівняння і порівняємо відповіді, за підсумком вони повинні збігатися.

перший спосіб

Рішення першого рівняння:

21х = 5 (х + 4,8) -

4,2х = х + 4,8-

4,2х - х = 4,8-

3,2х = 4,8-

х = 1,5 (Рублів) - вартість одного зошита;

4,8 + 1,5 = 6,3 (Рублів) - вартість однієї книги.

Ще один спосіб вирішення даного рівняння (відкриття дужок):

21х = 5 (х + 4,8) -

21х = 5х + 24-

16х = 24-

х = 1,5 (рублів) - вартість одного зошита-

1,5 + 4,8 = 6,3 (Рублів) - вартість однієї книги.

другий спосіб

5х = 21 (х - 4,8) -

5х = 21х - 100,8-

16х = 100,8-

х = 6,3 (рублів) - вартість 1 книги;

6,3 - 4,8 = 1,5 (рублів) - вартість одного зошита.

Як видно з прикладів, відповіді ідентичні, отже, завдання виконане вірно. Слідкуйте за правильністю рішення, в нашому прикладі не повинні відповіді виходити негативними.

Зустрічаються й інші завдання, які вирішуються за допомогою рівняння, наприклад на рух. Розглянемо їх більш детально в наступних прикладах.

два автомобіля

У цьому розділі мова піде про завдання на рух. Щоб уміти їх вирішувати, необхідно знати наступне правило:

S = V * T,

S - відстань, V - швидкість, Т - час.

Спробуємо розглянути приклад.

Два автомобілі виїхали одночасно з точки А в точку В. Перший проїхав всю відстань на одній швидкості, другий першу половину шляху їхав зі швидкістю 24 км / год, а другу - 16 км / ч. Потрібно визначити швидкість першого автомобіліста, якщо в пункт В вони прийшли одночасно.

Що нам буде потрібно для складання рівняння: головна змінна V₁ (Швидкість першого автомобіля), другорядні: S - шлях, Т₁ - час у дорозі першого автомобіля. рівняння: S = V₁ * Т_1.

Далі: другий автомобіль першу половину шляху (S / 2) проїхав зі швидкістю V₂= 24 км / год. Отримуємо вираз: S / 2 = 24 * Т_2.

Наступну частину шляху він проїхав зі швидкістю V₃ = 16 км / год. отримуємо S / 2 = 16 * Т₃.

Далі з умови видно, що автомобілі прибули одночасно, отже Т₁ = Т₂ + Т₃. Тепер нам належить висловити змінні Т₁, Т₂, Т₃ з попередніх наших умов. Отримуємо рівняння: S / V₁ = (S / 48) + (S / 32).

S приймаємо за одиницю і вирішуємо рівняння:

1 / V₁ = 1/48 + 1/32

1 / V₁ = (2/96) + (3/96) -

1 / V₁ = 5 / 96-

V₁ = 96/5

V₁ = 19,2 км / год.

Це і є відповідь. Завдання, які вирішуються за допомогою рівняння, складні тільки на перший погляд. Крім вищенаведеного, можуть зустрітися завдання на роботу, що це таке, розглянемо в наступному розділі.

Завдання на роботу

Для вирішення такого типу завдання необхідно знати формулу:

A = VT,

де A - це робота, V - продуктивність.

Для більш докладного опису потрібно привести приклад. Тема "Рішення задач рівнянням" (6 клас) може не містити подібних завдань, так як це більш складний рівень, але тим не менше наведемо приклад для ознайомлення.

Уважно читаємо умова: два робочих працюють разом і план виконують за дванадцять днів. Потрібно визначити, скільки часу буде потрібно першому працівникові на виконання тієї ж норми самостійно. Відомо, що він за два дні виконує обсяг роботи, як другий працівник за три дні.

Рішення задач за допомогою рівнянь вимагає уважного читання умови. Перше, що ми зрозуміли з завдання, що робота не визначена, отже, приймаємо її за одиницю, тобто А = 1. Якщо в задачі йдеться про певну кількість деталей або літрів, то роботу варто брати за цими даними.

Позначаємо продуктивність першого і другого робочого через V₁ і V₂ відповідно, на цьому етапі можливе складання наступного рівняння:

1 = 12 (V₁ + V₂).

Що нам говорить дане рівняння? Що всю роботу виконують двоє людей за дванадцять годин.

Далі ми можемо стверджувати: 2V₁ = 3V₂. Тому що перший за два дні робить стільки, скільки другий за три. Ми отримали систему рівнянь:

1 = 12 (V1 + V2) -

2V₁ = 3V_2.

За підсумком рішення системи ми отримали рівняння з однією змінною:

1 - 8V₁ = 12V₁

V₁ = 1/20 = 0,05.

Це продуктивність праці першого робочого. Тепер ми можемо знайти час, за яке впорається з усією роботою перша людина:

А = V₁ * T₁

1 = 0,05 * Т₁-

Т₁ = 20.

Так як за одиницю часу був прийнятий день, то відповідь: 20 днів.

переформулювання завдання

Якщо ви добре опанували навиком вирішувати завдання на рух, а з завданнями на роботу у вас виникають якісь труднощі, то можливо з роботи отримати рух. Яким чином? Якщо брати останній приклад, то умова вийде наступним: Олег і Діма рухаються назустріч один одному, зустрічаються вони через 12 годин. За скільки подолає шлях самостійно Олег, якщо відомо, що він за дві години проїжджає шлях, рівний шляху Діми за три години.