Ви не забули, як вирішувати неповне квадратне рівняння?

Відео: Рішення неповних квадратних рівнянь (приклад докладний)

Як вирішувати неповне квадратне рівняння? Відомо, що воно є приватним варіантом рівності ах²+вх + с = о, де а, в і с - речові коефіцієнти при невідомому х, і де а &ne- про, а в і з будуть нулями - одночасно або порізно. Наприклад, з = о, в &ne- про або навпаки. Ми майже згадали визначення квадратного рівняння.

уточнимо

Трехчлен другого ступеня дорівнює нулю. Перший його коефіцієнт а &ne- про, в і з можуть приймати будь-які значення. Значення змінної х тоді буде коренем рівняння, коли при підстановці зверне його в правильне числове рівність. Зупинимося на речових коренях, хоча рішеннями рівняння можуть бути і комплексні числа. Повним прийнято називати рівняння, в якому жоден з коефіцієнтів НЕ дорівнює о, а &ne- про, в &ne- про, з &ne- о.
Вирішимо приклад. 2х²-9х-5 = о, знаходимо
D = 81 + 40 = 121,
D позитивний, значить коріння є, х₁ = (9 +&radic-121): 4 = 5, а другий х₂ = (9-&radic-121): 4 = -о, 5. Перевірка допоможе переконатися, що вони вірні.

Ось поетапне вирішення квадратного рівняння

Через дискриминант можна вирішити будь-яке рівняння, в лівій частині якого відомий квадратний тричлен при а &ne- о. У нашому прикладі. 2х²-9х-5 = 0 (ах²+вх + с = о)

• Знаходимо спочатку дискриминант D за відомою формулою в²-4ас.
• Перевіряємо, яким буде значення D: у нас більше нуля, буває рівним нулю або менше.
• Знаємо, що якщо D &rsaquo- про, квадратне рівняння має всього 2 різних дійсних корені, їх позначають х₁ зазвичай і х₂,
  ось як вирахували:
  х₁ = (-н +&radic-D) :( 2а), а другий: х₂ = (-в-&radic-D) :( 2а).
• D = o - один корінь, або, кажуть, два рівних:
  х₁ одно х₂ і так само -в: (2а).
• І нарешті, D &lsaquo- o означає, що рівняння не має ніяких речових коренів.

Розглянемо, які бувають неповні рівняння другого ступеня

1. ах²+вх = o. Вільний член, коефіцієнт с при х⁰, тут дорівнює нулю, в &ne- o.
   Як вирішувати неповне квадратне рівняння такого виду? Виносимо х за дужки. Згадуємо, коли твір двох множників дорівнює нулю.
   x (ax + b) = o, це може бути, коли х = про або коли ax + b = o.
   Вирішивши 2-е лінійне рівняння, маємо x = -в / а.
   В результаті маємо коріння х₁ = 0, за обчисленнями x₂ = -b / A_.
2. Тепер коефіцієнт при х дорівнює о, а з не дорівнює (&ne-) о.
   x²+з = о. Перенесемо з в праву частину рівності, отримаємо x² = -с. Це рівняння тільки тоді має речові коріння, коли -з позитивне число (з &lsaquo- о),
   х₁ тоді дорівнює &radic - (- с), відповідно х₂ - -&radic - (- с). В іншому випадку рівняння зовсім не має коренів.
3. Останній варіант: b = c = o, тобто ах² = О. Природно, таке простеньке рівняння має один корінь, x = о.

Відео: Неповні квадратні рівняння

окремі випадки

Як вирішувати неповне квадратне рівняння розглянули, а тепер візьмемо будь-які види.

Відео: Алгебра 9 клас. 8 вересня. квадратні рівняння

• У повному квадратному рівнянні другий коефіцієнт при х - парне число.
  Нехай k = o, 5b. Маємо формули для обчислення дискримінанту і коренів.
  D / 4 = k²- ас, коріння обчислюються так х_1,2 = (-k ±&radic- (D / 4)) / а при D &rsaquo- o.
  x = -k / a при D = o.
  Ні коренів при D &lsaquo- o.
• Бувають наведені квадратні рівняння, коли коефіцієнт при х в квадраті дорівнює 1, їх прийнято записувати x² +рх + q = o. На них поширюються всі вищенаведені формули, обчислення ж дещо простіше.
  Приклад, х²-4х-9 = 0. Обчислюємо D: 2²+9, D = 13.
  х₁ = 2 +&radic-13, х₂ = 2&radic-13.
• Крім того, до наведених легко застосовується теорема Вієта. У ній говориться, що сума коренів рівняння дорівнює -p, другого коефіцієнту з мінусом (мається на увазі протилежний знак), а твір цих же коренів дорівнюватиме q, вільному члену. Перевірте, як легко можна було б усно визначити коріння цього рівняння. Для неприведення (при всіх коефіцієнтах, що не рівних нулю) ця теорема застосовна так: сума x₁+x₂ дорівнює -в / а, твір х₁·-х₂ одно з / a.

Сума вільного члена с і першого коефіцієнта а дорівнює коефіцієнту b. У цій ситуації рівняння має не менше ніж один корінь (легко доводиться), перший обов`язково дорівнює -1, а другий -з / а, якщо він існує. Як вирішувати неповне квадратне рівняння, можна перевірити самостійно. Простіше простого. Коефіцієнти можуть перебувати в деяких співвідношеннях між собою

Відео: Підготовка до ЗНО. 44. Неповні квадратні рівняння

• x²+x = o, 7х²-7 = o.
• Сума всіх коефіцієнтів дорівнює о.
  Коріння у такого рівняння - 1 і с / а. Приклад, 2х²-15х + 13 = o.
  x₁ = 1, х₂ = 13/2.

Існує ряд інших способів вирішення різних рівнянь другого ступеня. Ось, наприклад, метод виділення з даного полінома повного квадрата. Графічних способів кілька. Коли часто маєш справу з такими прикладами, навчишся «клацати» їх, як насіння, адже всі способи приходять на розум автоматично.