Як вирішити рівняння прямої через дві точки?

Математика - не нудна наука, як інколи здається. У ній є багато цікавого, хоча часом і незрозумілого для тих, хто не горить бажанням в ній розбиратися. Сьогодні мова піде про одну з найбільш часто зустрічаються і простих тим в математиці, а точніше тієї її області, що на межі алгебри і геометрії. Поговоримо про прямих і їх рівняннях. Здавалося б, це нудна шкільна тема, яка не обіцяє нічого цікавого і нового. Однак це не так, і в цій статті ми спробуємо вам довести нашу точку зору. Перш ніж перейти до найцікавішого і описати рівняння прямої через дві точки, ми звернемося до історії всіх цих вимірів, а потім з`ясуємо, навіщо це все було потрібно і чому зараз теж не завадить знання наступних формул.

Історія

Ще в давнину математики захоплювалися геометричними побудовами і всілякими графіками. Важко сьогодні сказати, хто першим придумав рівняння прямої через дві точки. Але можна припустити, що цією людиною був Евклід - давньогрецький вчений і філософ. Саме він в своєму трактаті "почала" зародив основу майбутньої геометрії Евкліда. Зараз цей розділ математики вважається основою геометричного уявлення світу і проходиться в школі. Але варто сказати, що евклідова геометрія діє тільки на макрорівні в нашому тривимірному вимірюванні. Якщо ж розглядати космос, то не завжди вдається уявити за допомогою неї все ті явища, що там відбуваються.

Після Евкліда були і інші вчені. І вони вдосконалювали і осмислювали те, що він відкрив і написав. Зрештою, вийшла стійка область геометрії, в якій все до сих пір залишається непорушним. І вже тисячоліттями доведено, що рівняння прямої через дві точки скласти дуже легко і просто. Але перш ніж приступити до пояснення того, як це зробити, обговоримо трохи теорії.

теорія

Пряма - це нескінченний в обох напрямках відрізок, який можна поділити на безліч відрізків будь-якої довжини. Для того щоб уявити пряму, найчастіше використовують графіки. Причому графіки можуть бути як в двовимірної, так і в тривимірній системі координат. І будуються вони за координатами точок, що їм належать. Адже якщо розглядати пряму, то можна помітити, що вона складається з нескінченної кількості точок.

Однак є те, чим пряма дуже сильно відрізняється від інших видів ліній. Це її рівняння. У загальному вигляді воно дуже просте, на відміну, скажімо, від рівняння окружності. Напевно, кожен з нас проходив його ще в школі. Але все ж запишемо його загальний вигляд: y = kx + b. У наступному розділі ми докладно розберемо, що означає кожна з цих букв і як вирішувати це нехитре рівняння прямої, що проходить через дві точки.

рівняння прямої

Те рівність, що було представлено вище, і є необхідною нам рівнянням прямої. Варто пояснити, що тут що означає. Як можна здогадатися, y і x - це координати кожної точки, що належить прямій. Взагалі, рівняння це існує тільки тому, що кожній точці будь-якої прямої властиво перебувати в зв`язку з іншими точками, а тому існує закон, що зв`язує одну координату з іншого. Цей закон і визначає, як виглядає рівняння прямої через дві дані точки.

Чому саме дві точки? Все це тому, що мінімально кількість точок, необхідне для побудови прямої в двовимірному просторі, дорівнює двом. Якщо ж брати тривимірний простір, то кількість точок, необхідне для побудови однієї-єдиної прямої також буде дорівнює двом, так як три точки вже складають площину.

Існує також теорема, яка доводить, що через дві будь-які точки можливо провести єдину пряму. Цей факт можна перевірити на практиці, з`єднавши лінійкою дві випадкові точки на графіку.

Тепер розглянемо конкретний приклад і покажемо, як вирішувати це горезвісне рівняння прямої, що проходить через дві дані точки.

Відео: Видеоурок "Рівняння прямої, що проходить через дві точки"

приклад

Розглянемо дві точки, через які потрібно побудувати пряму. Задамо їм координати, наприклад, М₁(2-1) і М₂(3-2). Як ми знаємо з шкільного курсу, перша координата - це значення по осі OX, а друга - по осі OY. Вище було наведено рівняння прямої через дві точки, і, щоб нам дізнатися відсутні параметри k і b, потрібно скласти систему з двох рівнянь. Фактично вона буде складена з двох рівнянь, в кожному з яких будуть дві наші невідомі постійні:

1 = 2k + b

2 = 3k + b

Тепер залишається найголовніше: вирішити цю систему. Робиться це досить просто. Для початку висловимо з першого рівняння b: b = 1-2k. Тепер треба підставити отримане рівність в друге рівняння. Робиться це заміною b на отримане нами рівність:

2 = 3k + 1-2k

1 = k;

Тепер, коли ми дізналися, чому дорівнює значення коефіцієнта k, пора дізнатися величину наступної постійної - b. Робиться це ще простіше. Так як нам відома залежність b від k, ми можемо підставити значення останньої в перше рівняння і дізнатися невідоме значення:

b = 1-2 * 1 = -1.

Знаючи обидва коефіцієнта, тепер можемо підставити їх у вихідне загальне рівняння прямої через дві точки. Таким чином, для нашого прикладу отримуємо таке рівняння: y = x-1. Це і є шукане рівність, яке ми повинні були отримати.

Перед тим як перейти до висновку, обговоримо застосування цього розділу математики в повсякденному житті.

застосування

Як такого застосування рівняння прямої через дві точки не знаходить. Але це не означає, що це не потрібно нам. У фізиці та математиці дуже активно застосовуються рівняння прямих і властивості, з них випливають. Ви можете це навіть не помічати, але математика оточує нас. І навіть такі, на перший погляд, нічим не примітні теми, як рівняння прямої через дві точки, виявляються дуже корисні і дуже часто застосовуються на фундаментальному рівні. Якщо на перший погляд здається, що це зовсім ніде не може стати в нагоді, то ви помиляєтеся. Математика розвиває логічне мислення, яке ніколи не буде зайвим.

Відео: §51 Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки

висновок

Тепер, коли ми розібралися з тим, як будувати прямі по двом даними точкам, нам нічого не варто відповісти на будь-яке питання, пов`язаний з цим. Наприклад, якщо викладач скаже вам: "Напишіть рівняння прямої, що проходить через дві точки", То вам не складе труднощів зробити це. Сподіваємося, що ця стаття була корисною для вас.