Що таке нулі функції і як їх визначити
Відео: Знайти область визначення функції - bezbotvy
Що таке нулі функції? Відповість досить простий - це математичний термін, під яким мають на увазі область визначення заданої функції, на якому її значення нульове. Нулі функції також називають корінням рівняння. Найпростіше пояснити, що таке нулі функції, на декількох простих прикладах.
приклади
Розглянемо нескладне рівняння у = х + 3. Оскільки нуль функції - це значення аргументу, при якому у придбав нульове значення, підставимо 0 в ліву частину рівняння:
0 = х + 3;
х = -3.
В даному випадку -3 і є шуканий нуль. Для даної функції існує тільки один корінь рівняння, але так буває далеко не завжди.
Розглянемо ще один приклад:
Відео: Дослідження функції. Знайти основні властивості функції
у = х2-9.
Підставами 0 в ліву частину рівняння, як і в попередньому прикладі:
0 = х2-9;
-9 = х2 .
Відео: 17.3 Знайдіть нулі функції. Рішення
Очевидно, що в даному випадку нулів функції буде два: х = 3 і х = -3. Якби в рівнянні був аргумент третього ступеня, нулів було б три. Можна зробити простий висновок, що кількість коренів многочлена відповідає максимальному ступені агрумент в рівнянні. Однак багато функцій, наприклад у = х3 , на перший погляд суперечать цьому твердженню. Логіка і здоровий глузд підказують, що у цій функції тільки один нуль - в точці х = 0. Але насправді коренів три, просто всі вони збігаються. Якщо вирішувати рівняння в комплексній формі, це стає очевидним. х = 0 в даному випадку, корінь, кратність якого 3. У попередньому прикладі нулі не збігалися, тому мали кратність 1.
алгоритм визначення
З представлених прикладів видно, як визначити нулі функції. Алгоритм завжди один і той же:
- Записати функцію.
- Підставити у або f (x) = 0.
- Вирішити вийшло рівняння.
Складність останнього пункту залежить від ступеня аргументу рівняння. При вирішенні рівнянь високих ступенів особливо важливо пам`ятати, що кількість коренів рівняння дорівнює максимальній мірі аргументу. Особливо це актуально для тригонометричних рівнянь, де розподіл обох частин на синус або косинус призводить до втрати коренів.
Відео: Функції та їх властивості. Контрольна робота # 1
Рівняння довільній ступеня найпростіше вирішувати методом Горнера, який був розроблений спеціально для знаходження нулів довільного многочлена.
Значення нулів функцій може бути як негативним, так і позитивним, дійсним або лежачим в комплексній площині, одиничним або множинним. Або ж коренів рівняння може і не бути. Наприклад, функція у = 8 не набуде нульового значення ні при якому х, тому що вона не залежить від цієї змінної.
Рівняння у = х2-16 має два кореня, і обидва лежать в комплексній площині: х1= 4І, х2= -4і.
типові помилки
Часта помилка, яку допускають школярі, ще не розібралися толком в тому, що таке нулі функції, - це заміна на нуль аргументу (х), а не значення (у) функції. Вони впевнено підставляють в рівняння х = 0 і, виходячи з цього, знаходять у. Але це неправильний підхід.
Інша помилка, як уже згадувалося, скорочення на синус або косинус в тригонометричному рівнянні, через що і втрачається один або кілька нулів функції. Це не означає, що в таких рівняннях можна нічого скорочувати, просто при подальших підрахунках необхідно враховувати ці "втрачені" співмножники.
графічне представлення
Зрозуміти, що таке нулі функції, можна за допомогою математичних програм, таких як Maple. У ній можна побудувати графік, вказавши бажану кількість точок і потрібний масштаб. Ті точки, в яких графік перетне вісь ОХ, і є шукані нулі. Це один з найшвидших способів знаходження коренів многочлена, особливо якщо його порядок вище третього. Так що якщо є необхідність регулярно виконувати математичні розрахунки, знаходити корені многочленів довільних ступенів, будувати графіки, Maple або аналогічна програма буде просто незамінна для здійснення і перевірки розрахунків.
