Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Однорідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Відео: Фундаментальна система рішень відео-урок!

Ще в школі кожен з нас вивчав рівняння і, напевно, системи рівнянь. Але мало хто знає, що існує кілька способів їх вирішення. Сьогодні ми докладно розберемо всі методи вирішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь, які складаються більш ніж з двох рівностей.

Історія

На сьогоднішній день відомо, що мистецтво розв`язувати рівняння та їх системи зародилося ще в Стародавньому Вавилоні і Єгипті. Однак рівності в їх звичному для нас вигляді з`явилися після виникнення знака рівності "=", Який був введений в 1556 році англійським математиком Рекордом. До речі, цей знак був обраний не просто так: він означає два паралельних рівних відрізка. І правда, кращого прикладу рівності годі й чекати.

Основоположником сучасних літерних позначень невідомих і знаків ступенів є французький математик Франсуа Вієт. Однак його позначення значно відрізнялися від сьогоднішніх. Наприклад, квадрат невідомого числа він позначав буквою Q (лат."quadratus"), А куб - буквою C (лат. "cubus"). Ці позначення зараз здаються незручними, але тоді це був найбільш зрозумілий спосіб записати системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Однак недоліком в тодішніх методах рішення було те, що математики розглядали тільки позитивні коріння. Можливо, це пов`язано з тим, що негативні значення не мали ніякого практичного застосування. Так чи інакше, але першими вважати негативні коріння почали саме італійські математики Нікколо Тарталья, Джироламо Кардано і Рафаель Бомбелли в 16 столітті. А сучасний вид, основний метод вирішення квадратних рівнянь (Через дискримінант) був створений тільки в 17 столітті завдяки роботам Декарта і Ньютона.

В середині 18 століття швейцарський математик Габріель Крамер знайшов новий спосіб для того, щоб зробити рішення систем лінійних рівнянь простіше. Цей спосіб був згодом названий його ім`ям і по сей день ми користуємося ним. Але про метод Крамера поговоримо трохи пізніше, а поки обговоримо лінійні рівняння і методи їх вирішення окремо від системи.

лінійні рівняння

Лінійні рівняння - найпростіші рівності зі змінною (змінними). Їх відносять до алгебраїчних. лінійні рівняння записують в загальному вигляді так: а₁* x₁+а_{2 *}x₂+...а_n* x_n= B. Подання їх у цьому виді нам знадобиться при складанні систем і матриць далі.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Визначення цього терміна таке: це сукупність рівнянь, які мають спільні невідомі величини і спільне рішення. Як правило, в школі все вирішували системи з двома або навіть трьома рівняннями. Але бувають системи з чотирма і більше складовими. Давайте розберемося спочатку, як слід їх записати так, щоб в подальшому було зручно вирішувати. По-перше, системи лінійних алгебраїчних рівнянь будуть виглядати краще, якщо всі змінні будуть записані як x з відповідним індексом: 1,2,3 і так далі. По-друге, слід привести все рівняння до канонічного виду: а₁* x₁+а_{2 *}x₂+...а_n* x_n= B.

Після всіх цих дій ми можемо почати розповідати, як знаходити рішення систем лінійних рівнянь. Дуже сильно для цього нам знадобляться матриці.

матриці

Матриця - це таблиця, яка складається з рядків і стовпців, а на їх перетині знаходяться її елементи. Це можуть бути або конкретні значення, або змінні. Найчастіше, щоб позначити елементи, під ними розставляють нижні індекси (наприклад, а₁₁ або а₂₃). Перший індекс означає номер рядка, а другий - стовпця. Над матрицями, як і над будь-яким іншим математичним елементом можна здійснювати різні операції. Таким чином, можна:

1) Віднімати і складати однакові за розміром таблиці.

2) Умножати матрицю на якесь число або вектор.

3) Транспонувати: перетворювати рядки матриці в стовпці, а стовпці - в рядки.

4) Умножати матриці, якщо число рядків однієї з них дорівнює кількості стовпців іншої.

Детальніше обговоримо всі ці прийоми, так як вони стануть в нагоді нам надалі. Віднімання і додавання матриць відбувається дуже просто. Так як ми беремо матриці однакового розміру, то кожен елемент однієї таблиці співвідноситься з кожним елементом іншого. Таким чином складаємо (віднімаємо) два цих елементу (важливо, щоб вони стояли на однакових місцях у своїх матрицях). При множенні матриці на число або вектор необхідно просто помножити кожен елемент матриці на це число (або вектор). Транспонування - дуже цікавий процес. Дуже цікаво іноді бачити його в реальному житті, наприклад, при зміні орієнтації планшета або телефону. Значки на робочому столі є матрицю, а при зміні положення вона транспонується і ширшає, але зменшується в висоті.

Розберемо ще такий процес, як множення матриць. Хоч він нам і не знадобиться, але знати його буде все одно корисно. Помножити дві матриці можна тільки за умови, що число стовпців однієї таблиці дорівнює числу рядків інший. Тепер візьмемо елементи рядки однієї матриці і елементи відповідного стовпчика інший. Перемножимо їх один на одного і потім складемо (тобто, наприклад, твір елементів a₁₁ і а₁₂ на b₁₂ і b₂₂ дорівнюватиме: а₁₁* b₁₂ + а₁₂* b₂₂). Таким чином, виходить один елемент таблиці, і аналогічним методом вона заповнюється далі.

Тепер можемо приступити до розгляду того, як вирішується система лінійних рівнянь.

метод Гаусса

Цією тему починають проходити ще в школі. Ми добре знаємо поняття "система двох лінійних рівнянь" і вміємо їх вирішувати. Але що робити, якщо число рівнянь більше двох? У цьому нам допоможе метод Гаусса.

Звичайно, цим методом зручно користуватися, якщо зробити з системи матрицю. Але можна і не перетворювати її і вирішувати в чистому вигляді.

Отже, як вирішується цим методом система лінійних рівнянь Гаусса? До речі, хоч цей спосіб і названий його ім`ям, але відкрили його ще в давнину. Гаусс є проводити операції з рівняннями, щоб врешті-решт призвести всю сукупність до ступінчастого вигляду. Тобто, потрібно, щоб зверху вниз (якщо правильно розставити) від першого рівняння до останнього зменшувалося по одному невідомому. Іншими словами, потрібно зробити так, щоб у нас вийшло, скажімо, три рівняння: в першому - три невідомих, у другому - два, в третьому - одне. Тоді з останнього рівняння ми знаходимо перше невідоме, підставляємо його значення в друге або перше рівняння, і далі знаходимо залишилися дві змінні.

Відео: 23. Системи лінійних неоднорідних рівнянь. Загальна теорія

метод Крамера

Для освоєння цього методу життєво необхідно володіти навичками додавання, віднімання матриць, а також потрібно вміти знаходити визначники. Тому, якщо ви погано все це робите або зовсім не вмієте, доведеться повчитися і потренуватися.

У чому суть цього методу, і як зробити так, щоб вийшла система лінійних рівнянь Крамера? Все дуже просто. Ми повинні побудувати матрицю з численних (практично завжди) коефіцієнтів системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Для цього просто беремо числа перед невідомими і розставляємо в таблицю в тому порядку, як вони записані в системі. Якщо перед числом стоїть знак "-", То записуємо негативний коефіцієнт. Отже, ми склали першу матрицю з коефіцієнтів при невідомих, не включаючи числа після знаків рівності (природно, що рівняння має бути приведене до канонічного вигляду, коли справа знаходиться тільки число, а зліва - все невідомі з коефіцієнтами). Потім потрібно скласти ще кілька матриць - по одній для кожної змінної. Для цього замінюємо в першій матриці по черзі кожен стовпець з коефіцієнтами стовпцем чисел після знаку рівності. Таким чином отримуємо кілька матриць і далі знаходимо їх визначники.

Після того як ми знайшли визначники, справа за малим. У нас є початкова матриця, і є кілька отриманих матриць, які відповідають різним змінним. Щоб отримати рішення системи, ми ділимо визначник отриманої таблиці на визначник початкової таблиці. Отримане число і є значення однієї із змінних. Аналогічно знаходимо все невідомі.

інші методи

Існує ще кілька методів для того, щоб отримати рішення систем лінійних рівнянь. Наприклад, так званий метод Гаусса-Жордана, який застосовується для знаходження рішень системи квадратних рівнянь і теж пов`язаний із застосуванням матриць. Існує також метод Якобі для рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Він легше всіх адаптується для комп`ютера і застосовується в обчислювальній техніці.

складні випадки

Складність зазвичай виникає, якщо число рівнянь менше числа змінних. Тоді можна напевно сказати, що, або система несумісна (тобто не має коренів), або кількість її рішень прямує до нескінченності. Якщо у нас другий випадок - то потрібно записати загальне рішення системи лінійних рівнянь. Воно буде містити як мінімум одну змінну.

висновок

Ось ми і підійшли до кінця. Підіб`ємо підсумки: ми розібрали, що таке система і матриця, навчилися знаходити спільне рішення системи лінійних рівнянь. Крім цього розглянули інші варіанти. З`ясували, як вирішується система лінійних рівнянь: метод Гаусса і метод Крамера. Поговорили про складних випадках і інших способах знаходження рішень.

Насправді ця тема набагато більш обширна, і якщо ви хочете краще в ній розібратися, то радимо почитати більше спеціалізованої літератури.