Рівняння площини: як скласти? Види рівнянь площини

У просторі площину можна задавати різними способами (однією точкою і вектором, двома точками і вектором, трьома крапками і ін.). Саме з огляду на це рівняння площині може мати різні види. Також при дотриманні певних умов площині можуть бути паралельними, перпендикулярними, пересічними і т.д. Про це і поговоримо в даній статті. Ми навчимося складати загальне рівняння площини і не тільки.

Нормальний вид рівняння

Припустимо, є простір R₃, яке має прямокутну координатну систему XYZ. задамо вектор &alpha-, який буде випущений з початкової точки О. Через кінець вектора &alpha- проведемо площину П, яка буде йому перпендикулярна.

Відео: Видеоурок "Рівняння площини по трьом точкам"

Позначимо на П довільну точку Q = (х, у, z). Радіус-вектор точки Q підпишемо буквою р. При цьому довжина вектора &alpha- дорівнює р = I&alpha-I і = (cos&alpha-, cos&beta-, cos&gamma-).

Це одиничний вектор, який направлений в сторону, як і вектор &alpha-. &alpha-, &beta- і &gamma- - це кути, які утворюються між вектором і позитивними напрямками осей простору х, у, z відповідно. Проекція будь-якої точки Q П на вектор є постійною величиною, яка дорівнює р: (р, ) = р (р&ge-0).

Зазначене рівняння має сенс, коли р = 0. Єдине, площину П в цьому випадку буде перетинати точку О (&alpha- = 0), яка є початком координат, і одиничний вектор , випущений з точки О, буде перпендикулярний до П, незважаючи на його напрямок, що означає, що вектор визначається з точністю до знака. Попереднє рівняння є рівнянням нашої площині П, вираженим у векторній формі. А ось в координатах його вид буде таким:

Р тут більше або дорівнює 0. Ми знайшли рівняння площини в просторі в нормальному вигляді.

загальне рівняння

Якщо рівняння в координатах помножимо на будь-яке число, яке не дорівнює нулю, отримаємо рівняння, еквівалентне даному, що визначає ту саму площину. Воно матиме такий вигляд:

Тут А, В, С - це числа, одночасно відмінні від нуля. Це рівняння має назву рівняння площини загального вигляду.

Рівняння площин. окремі випадки

Рівняння в загальному вигляді може видозмінюватися при наявності додаткових умов. Розглянемо деякі з них.

Припустимо, що коефіцієнт А дорівнює 0. Це означає, що дана площину паралельна заданій осі Ох. У цьому випадку вид рівняння зміниться: Ву + Cz + D = 0.

Аналогічно вид рівняння буде змінюватися і за таких умов:

• По-перше, якщо В = 0, то рівняння зміниться на Ах + Cz + D = 0, що буде свідчити про паралельність до осі Оу.
• По-друге, якщо С = 0, то рівняння перетворюється в Ах + Ву + D = 0, що буде говорити про паралельність до заданої осі Oz.
• По-третє, якщо D = 0, рівняння буде виглядати як Ах + Ву + Cz = 0, що буде означати, що площина перетинає О (початок координат).
• По-четверте, якщо A = B = 0, то рівняння зміниться на Cz + D = 0, що буде доводити паралельність до Oxy.
• По-п`яте, якщо B = C = 0, то рівняння стане Ах + D = 0, а це означає, що площина до Oyz паралельна.
• По-шосте, якщо A = C = 0, то рівняння набуде вигляду Ву + D = 0, тобто буде повідомляти про паралельність до Oxz.

Вид рівняння у відрізках

У разі коли числа А, В, С, D відмінні від нуля, вид рівняння (0) може бути наступним:

Відео: 118. Рішення задач на складання рівняння площини

х / а + у / b + z / с = 1,

в якому а = -D / А, b = -D / В, з = -D / С.

Отримуємо в результаті рівняння площини у відрізках. Варто відзначити, що дана площину буде перетинати вісь Ох у точці з координатами (а, 0,0), Оу - (0, b, 0), а Oz - (0,0, с).

З урахуванням рівняння х / а + у / b + z / с = 1 неважко візуально уявити розміщення площині щодо заданої координатної системи.

Координати нормального вектора

Нормальний вектор n до площини П має координати, які є коефіцієнтами загального рівняння даної площини, тобто n (А, В, С).

Для того щоб визначити координати нормалі n, досить знати загальне рівняння заданої площині.

При використанні рівняння у відрізках, яке має вигляд х / а + у / b + z / с = 1, як і при використанні загального рівняння, можна записати координати будь-якого нормального вектора заданої площині: (1 / а + 1 / b + 1 / з).

Варто відзначити, що нормальний вектор допомагає вирішити різноманітні завдання. До найпоширеніших належать завдання, які полягають в доказі перпендикулярності або паралельності площин, завдання по знаходженню кутів між площинами або кутів між площинами і прямими.

Вид рівняння площини згідно координатам точки і нормального вектора

Ненульовий вектор n, перпендикулярний заданій площині, називають нормальним (нормаллю) для заданої площині.

Припустимо, що в координатному просторі (прямокутної системі координат) Oxyz задані:

• точка М з координатами (х , у , z );
• нульовий вектор n = А * i + В * j + С * k.

Потрібно скласти рівняння площини, яка буде проходити через точку М перпендикулярно нормалі n.

Відео: Видеоурок "Нормальне рівняння площини"

У просторі виберемо будь-яку довільну точку і позначимо її М (х у, z). Нехай радіус-вектор будь-якої точки М (х, у, z) буде r = х * i + у * j + z * k, а радіус-вектор точки М (х , у , z ) - r = х * i + у * j + z * k. Точка М буде належати заданої площині, якщо вектор М М буде перпендикулярний вектору n. Запишемо умову ортогональності за допомогою скалярного твори:

[М М, n] = 0.

Оскільки М М = r-r , векторне рівняння площини виглядати буде так:

[R - r , n] = 0.

Дане рівняння може мати й іншу форму. Для цього використовуються властивості скалярного твори, а перетворюється ліва сторона рівняння. [R - r , n] = [r, n] - [r , n]. Якщо [r , n] позначити як з, то вийде наступне рівняння: [r, n] - з = 0 або [r, n] = с, яке виражає постійність проекцій на нормальний вектор радіус-векторів заданих точок, які належать площині.

Тепер можна отримати координатний вид запису векторного рівняння нашої площині [r - r , n] = 0. Оскільки r-r = (х-х ) * i + (у-у ) * j + (z-z ) * k, а n = А * i + В * j + С * k, ми маємо:

Виходить, у нас утворюється рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно нормалі n:

А * (х- х ) + В * (у-у ) С * (z-z ) = 0.

Вид рівняння площини згідно координатам двох точок і вектора, колінеарну площині

Задамо дві довільні точки М `(х`, у `, z`) і М "(х", у ", z"), а також вектор а (а `, а ", а ).

Тепер ми зможемо скласти рівняння заданої площині, яка буде проходити через наявні точки М `і М ", а також будь-яку точку М з координатами (х, у, z) паралельно заданому вектору а.

При цьому вектори М`М = {х-х`-у-у`-z-z `} і М "М = {х" -х`-у "-у`-z" -z`} повинні бути компланарними з вектором а = (а `, а ", а ), а це означає, що (М`М, М" М, а) = 0.

Отже, наше рівняння площини в просторі буде виглядати так:

Вид рівняння площині, що перетинає три точки

Припустимо, у нас є три точки: (х `, у`, z `), (х ", у", z "), (х , у , z ), які не належать одній прямій. Необхідно написати рівняння площини, що проходить через задані три точки. Теорія геометрії стверджує, що такого роду площину дійсно існує, от тільки вона єдина і неповторна. Оскільки ця площина перетинає точку (х `, у`, z `), вид її рівняння буде таким:

Тут А, В, С відмінні від нуля одночасно. Також задана площина перетинає ще дві точки: (х ", у", z ") і (х , у , z ). У зв`язку з цим повинні виконуватися такого роду умови:

Зараз ми можемо скласти однорідну систему рівнянь (лінійну) з невідомими u, v, w:

У нашому випадку х, у або z виступає довільній точкою, яка задовольняє рівняння (1). З огляду на рівняння (1) і систему з рівнянь (2) і (3), системі рівнянь, зазначеної на малюнку вище, задовольняє вектор N (А, В, С), який є нетривіальним. Саме тому визначник даної системи дорівнює нулю.

Рівняння (1), яке у нас вийшло, це і є рівняння площини. Через 3 точки вона точно проходить, і це легко перевірити. Для цього потрібно розкласти наш визначник за елементами, що знаходяться в першому рядку. З існуючих властивостей визначника випливає, що наша площину одночасно перетинає три спочатку задані точки (х `, у`, z `), (х ", у", z "), (х , у , z ). Тобто ми вирішили поставлене перед нами завдання.

Двухгранний кут між площинами

Двухгранний кут є просторовою геометричну фігуру, утворену двома півплощини, які виходять з однієї прямої. Іншими словами, це частина простору, яка обмежується даними напівплощиною.

Припустимо, у нас є дві площини з наступними рівняннями:

Нам відомо, що вектори N = (А, В, С) і N¹ - = (А¹-, В¹-, С¹-) перпендикулярні згідно із заданими площинах. У зв`язку з цим кут &phi- між векторами N і N¹- дорівнює розі (двухгранний), який знаходиться між цими площинами. Скалярний твір має вигляд:

NN¹- = | N || N¹- | cos &phi-,

саме тому

cos&phi- = NN¹- / | N || N¹- | = (АА¹- + ВВ¹- + СС¹ -) / ((&radic- (А + В + с?)) * (&radic- (А¹-) + (В¹-) + (С¹-) )).

Досить врахувати, що 0&le-&phi-&le-&pi-.

Насправді дві площини, які перетинаються, утворюють два кута (двухгранних): &phi-₁ і &phi-₂. Сума їх дорівнює &pi- (&phi-₁+ &phi-₂= &pi-). Що стосується їх косинусів, то їх абсолютні величини рівні, але розрізняються вони знаками, тобто cos &phi-₁= -cos &phi-₂. Якщо в рівнянні (0) замінити А, В і С на числа -А, -В і -С відповідно, то рівняння, яке ми отримаємо, буде визначати цю ж площину, єдине, кут &phi- в рівнянні cos &phi- = NN¹/ | N || N¹| буде замінений на &pi--&phi-.

Рівняння перпендикулярної площині

Перпендикулярними називаються площині, між якими кут дорівнює 90 градусів. Використовуючи матеріал, викладений вище, ми можемо знайти рівняння площини, перпендикулярної інший. Припустимо, у нас є дві площини: Ах + Ву + Cz + D = 0 і А¹-х + В¹-у + С¹-z + D = 0. Ми можемо стверджувати, що перпендикулярними вони будуть, якщо cos&phi- = 0. Це означає, що NN¹- = АА¹- + ВВ¹- + СС¹- = 0.

Рівняння паралельній площині

Паралельними називаються дві площини, які не містять спільних точок.

Умова паралельності площин (Їх рівняння ті ж, що і в попередньому пункті) полягає в тому, що вектори N і N¹-, які до них перпендикулярні, Колінеарні. А це значить, що виконуються наступні умови пропорційності:

А / А¹- = В / В¹- = С / С¹-.

Якщо умови пропорційності є розширеними - А / А¹- = В / В¹- = С / С¹- = DD¹-,

це свідчить про те, що дані площини збігаються. А це означає, що рівняння Ах + Ву + Cz + D = 0 і А¹-х + В¹-у + С¹-z + D¹- = 0 описують одну площину.

Відстань до площини від точки

Припустимо, у нас є площину П, яка задана рівнянням (0). Необхідно знайти до неї відстань від точки з координатами (х , у , z ) = Q . Щоб це зробити, потрібно привести рівняння площини П в нормальний вигляд:

(&rho-, v) = р (р&ge-0).

В даному випадку &rho- (х, у, z) є радіус-вектором нашої точки Q, розташованої на П, р - це довжина перпендикуляра П, який був випущений з нульової точки, v - це одиничний вектор, який розташований в напрямку а.

різниця &rho--&rho-º- радіус-вектора який-небудь точки Q = (х, у, z), що належить П, а також радіус-вектора заданої точки Q₀= (Х , у , z ) є таким вектором, абсолютна величина проекції якого на v дорівнює відстані d, яке потрібно знайти від Q₀= (Х , у , z ) до П:

D = | (&rho--&rho-⁰,v) |, але

(&rho--&rho-⁰,v) = (&rho-, v) - (&rho-⁰,v) = р- (&rho-⁰,v).

Ось і виходить,

d = | (&rho-⁰,v) -р |.

Тепер видно, щоб розрахувати відстань d від Q₀ до площини П, потрібно використовувати нормальний вигляд рівняння площині, при цьому перенести в ліву частину р, а в останню замість х, у, z підставити (х , у , z ).

Таким чином, ми знайдемо абсолютне значення отриманого виразу, тобто шукане d.

Використовуючи мову параметрів, отримуємо очевидне:

d = | Ах + Ву + Cz | /&radic- (А + В + с?).

Якщо задана точка Q₀ знаходиться по іншу сторону від площини П, як і початок координат, то між вектором &rho--&rho-⁰ і v знаходиться тупий кут, отже:

d = - (&rho--&rho-⁰,v) = (&rho-⁰,v) -рgt; 0.

У разі коли точка Q₀ спільно з початком координат розташовується по одну і ту ж сторону від П, то створюваний кут гострий, тобто:

d = (&rho--&rho-⁰,v) = р - (&rho-⁰, v) gt; 0.

У підсумку виходить, що в першому випадку (&rho-⁰,v) gt; р, у другому (&rho-⁰,v) lt; р.

Дотична площину і її рівняння

Що стосується площину до поверхні в точці дотику Мº- - це площина, що містить всі можливі дотичні до кривих, проведеним через цю точку на поверхні.

При такому вигляді рівняння поверхні F (х, у, z) = 0 рівняння дотичної площини в дотичній точці Мº- (хº-, уº-, zº-) буде виглядати так:

F_х(хº-, уº-, zº -) (х- хº -) + F_х(хº-, уº-, zº -) (у-уº -) + F_х(хº-, уº-, zº -) (z-zº -) = 0.

Якщо задати поверхню в явній формі z = f (х, у), то дотична площину буде описана рівнянням:

z-zº- = f (хº-, уº -) (х- хº -) + f (хº-, уº -) (у-уº-).

Перетин двох площин

В тривимірному просторі розташована система координат (прямокутна) Oxyz, дано дві площини П `і П ", які перетинаються і не збігаються. Оскільки будь-яка площина, що знаходиться в прямокутній системі координат, визначається загальним рівнянням, будемо вважати, що П `і П "задаються рівняннями А`х + В`у + С`z + D` = 0 і А" х + В "у + З "z + D" = 0. У такому випадку маємо нормаль n `(А`, В `, С`) площині П `і нормаль n "(А", В ", С") площині П ". Оскільки наші площині не паралельні і не збігаються, то ці вектори не є колінеарними. Використовуючи мову математики, ми цю умову можемо записати так: n `&ne- n " &harr- (А `, В`, С `) &ne- (&lambda- * А ",&lambda- * В ",&lambda- * С "), &lambda- R. Нехай пряма, яка лежить на перетині П `і П ", буде позначатися літерою а, в цьому випадку а = П` &cap- П ".

а - це пряма, що складається з безлічі всіх точок (загальних) площин П `і П ". Це означає, що координати будь-якої точки, що належить прямій а, повинні одночасно задовольняти рівняння А`х + В`у + С`z + D `= 0 і А "х + В" у + С "z + D" = 0. Значить, координати точки будуть приватним рішенням наступної системи рівнянь:

У підсумку виходить, що рішення (загальне) цієї системи рівнянь буде визначати координати кожної з точок прямої, яка буде виступати точкою перетину П `і П ", і визначати пряму а в системі координат Oxyz (прямокутної) в просторі.