Паралельні прямі на площині і в просторі
На площині прямі називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок, тобто вони не перетинаються. Для позначення паралельності використовують спеціальний значок || (Паралельні прямі a || b).
Для прямих, що лежать в просторі, вимоги відсутності спільних точок недостатньо - щоб вони в просторі були паралельними, вони повинні належати одній площині (інакше вони будуть перехресними).
За прикладами паралельних прямих далеко йти не треба, вони супроводжують нас всюди, в кімнаті - це лінії перетину стіни зі стелею і підлогою, на тетрадном аркуші - протилежні краю і т.д.
Відео: Видеоурок "Паралельні прямі в просторі"
Абсолютно очевидно, що, маючи паралельність двох прямих і третю пряму, паралельну одній з перших двох, вона буде паралельна і другий.
Відео: Геометрія 10 клас. Паралельні прямі в просторі. Паралельність трьох прямих
Паралельні прямі на площини пов`язані твердженням, яка не доводиться за допомогою аксіом планіметрії. Його приймають як факт, як аксіома: для будь-якої точки на площині, що не лежить на прямій, існує єдина пряма, яка проходить через неї паралельно даної. Цю аксіому знає кожен шестикласник.
Її просторове узагальнення, тобто твердження, що для будь-якої точки в просторі, що не лежить на прямій, існує єдина пряма, яка проходить через неї паралельно даної, легко доводиться за допомогою вже відомої нам аксіоми паралельності на площині.
Властивості паралельних прямих
- Якщо будь-яка з паралельних двох прямих паралельна третій, то вони взаємно паралельні.
Відео: Геометрія 10 клас - Паралельні прямі, перпендикулярні до площини
Цією властивістю володіють паралельні прямі і на площині, і в просторі.
Як приклад розглянемо його обгрунтування в стереометрії.
Припустимо паралельність прямих b і з прямою a.
Випадок, коли всі прямі лежать в одній і тій же площині залишимо планіметрії.
Припустимо, a і b належать площині бета, а гамма - площину, якій належать a і з (за визначенням паралельності в просторі прямі повинні належати одній площині).
Якщо допустити, що площині бета і гамма різні і відзначити на прямий b з площини бета якусь точку B, то площина, проведена через точку B і пряму з повинна перетнути площину бета по прямій (позначимо її b1).
Якби отримана пряма b1 перетинала площину гамма, то, з одного боку, точка перетину повинна була б лежати на a, оскільки b1 належить площині бета, а з іншого, вона повинна належати і з, бо b1 належить третій площині.
Але ж паралельні прямі a і з перетинатися не повинні.
Таким чином, пряма b1 повинна належати площині бета і при цьому не мати спільних точок з a, отже, за аксіомою паралельності, вона збігається з b.
Ми отримали збігається з прямою b пряму b1, яка належить одній і тій же площині з прямою с і при цьому її не перетинає, тобто b і з - паралельні
- Через точку, яка не лежить на заданій прямій, паралельна даній може проходити лише один єдина пряма.
- Що лежать на площині перпендикулярно третьої дві прямі паралельні.
- За умови перетину площині однієї з паралельних двох прямих, цю ж площину перетинає і друга пряма.
- Відповідні і навхрест лежачі внутрішні кути, утворені перетином паралельних двох прямих третьою, рівні, сума у утворилися при цьому внутрішніх односторонніх дорівнює 180 °.
Вірні і зворотні твердження, які можна прийняти за ознаки паралельності двох прямих.
Умова паралельності прямих
Сформульовані вище властивості і ознаки являють собою умови паралельності прямих, і їх цілком можна довести методами геометрії. Інакше кажучи, для доказу паралельності двох наявних прямих досить довести їх паралельність третьої прямий або рівність кутів, будь то відповідних або навхрест лежачих, і т.п.
Відео: Перпендикулярність прямих і площин [02 - full]
Для доказу в основному використовують метод «від противного», тобто з припущення, що прямі непаралельні. Виходячи з цього припущення, легко можна показати, що в цьому випадку порушуються задані умови, наприклад, навхрест лежачі внутрішні кути виявляються нерівними, що і доводить некоректність зробленого припущення.
