Трикутник рівносторонній: властивості, ознаки, площа, периметр
У шкільному курсі геометрії величезна кількість часу приділяється вивченню трикутників. Учні обчислюють кути, будують бісектриси і висоти, з`ясовують, чим фігури відрізняються один від одного, і як найпростіше знайти їх площа і периметр. Здається, що це не знадобиться в житті, але іноді все-таки корисно дізнатися, наприклад, як визначити, що трикутник рівносторонній або тупоугольние. Як же це зробити?
типи трикутників
Три точки, що не лежать на одній прямій, і відрізки, які їх з`єднують. Здається, що ця фігура - найпростіша. Якими можуть бути трикутники, якщо у них всього три сторони? Насправді варіантів досить велика кількість, і деяким з них приділяється особлива увага в рамках шкільного курсу геометрії. Правильний трикутник - рівносторонній, тобто всі його кути і сторони рівні. Він має низку примітних властивостей, про які йтиметься далі.
Відео: Рівнобедрений трикутник
У рівнобедреного рівні тільки дві сторони, і він також досить цікавий. У прямокутного і тупоугольного трикутників, як нескладно здогадатися, відповідно, один з кутів прямий або тупий. При цьому вони також можуть рівнобокими.
Існує і особливий вид трикутника, званий єгипетським. Його сторони рівні 3, 4 і 5 одиниць. При цьому він є прямокутним. вважається, що такий трикутник активно використовувався єгипетськими землемірами і архітекторами для побудови прямих кутів. Є думка, що з його допомогою були зведені знамениті піраміди.
І все-таки все вершини трикутника можуть лежати на одній прямій. У цьому випадку він буде називатися виродженим, в той час як всі інші - невиродженими. Саме вони і є одним з предметів вивчення геометрії.
трикутник рівносторонній
Зрозуміло, правильні фігури викликають завжди найбільший інтерес. Вони здаються більш досконалими, більш витонченими. Формули обчислення їх характеристик часто простіше і коротше, ніж для звичайних фігур. Це відноситься і до трикутниках. Не дивно, що при вивченні геометрії їм приділяється досить багато уваги: школярів вчать відрізняти правильні фігури від інших, а також розповідають про деякі їх цікавих характеристиках.
Ознаки та властивості
Як неважко здогадатися з назви, кожна сторона рівностороннього трикутника дорівнює двом іншим. Крім того, він має ряд ознак, завдяки яким можна визначити, чи правильна фігура чи ні.
Відео: ЗНО. Рівносторонній трикутник
- всі його кути рівні, їх величина складає 60 градусів;
- бісектриси, висоти і медіани, проведені з кожної вершини, збігаються;
- правильний трикутник має 3 осі симетрії, він не змінюється при повороті на 120 градусів.
- центр вписаного кола також є центром описаного кола і точкою перетину медіан, биссектрис, висот і серединних перпендикулярів.
Якщо спостерігається хоча б один з перерахованих вище ознак, то трикутник - рівносторонній. Для правильної фігури справедливі всі згадані твердження.
Всі трикутники мають ряд примітних властивостей. По-перше, середня лінія, тобто відрізок, який ділив дві сторони навпіл і паралельний третьої, дорівнює половині підстави. По-друге, сума всіх кутів цієї фігури завжди дорівнює 180 градусам. Крім того, в трикутниках спостерігається ще одна цікава взаємозв`язок. Так, проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Але це, звичайно, до рівностороннього трикутника відношення не має, адже у нього всі кути рівні.
Вписані і описані окружності
Нерідко в курсі геометрії учні також вивчають те, як фігури можуть взаємодіяти один з одним. Зокрема, вивчаються окружності, вписані в багатокутники або описані навколо них. Про що йде мова?
Вписаною називають таку окружність, для якої всі сторони багатокутника є дотичними. Описаної - ту, яка має точки дотику з усіма кутами. Для кожного трикутника завжди можна побудувати як першу, так і другу окружність, але тільки одну кожного виду. Докази двох цих 
теорем наводяться в шкільному курсі геометрії.
Крім обчислення параметрів самих трикутників, деякі завдання також мають на увазі розрахунок радіусів цих кіл. І формули стосовно
рівностороннього трикутника виглядають наступним чином:
r = a /&radic- 3;
R = a / 2&radic- 3;
де r - радіус вписаного кола, R - радіус описаного кола, a - довжина сторони трикутника.
Обчислення висоти, периметра і площі
Основні параметри, обчисленням яких займаються школярі під час вивчення геометрії, залишаються незмінними практично для будь-яких фігур. Це периметр, площа і висота. Для простоти розрахунків існують різні формули.
Так, периметр, тобто довжина всіх сторін, обчислюється наступним чином:
P = 3a = 3&radic- 3R = 6&radic- 3r, де a - сторона правильного трикутника, R - радіус описаного кола, r - вписаною.
Висота:
h = (&radic- 3 / 2) * a, де a - довжина сторони.
Відео: Рівнобедрений трикутник. Рівносторонній трикутник. Геометрія 7-9 класи. урок 4
Нарешті, формула площі рівностороннього трикутника виводиться з стандартної, тобто твори половини підстави на його висоту.
S = (&radic- 3 / 4) * a2, де a - довжина сторони.
Також ця величина може бути обчислена через параметри описаної або вписаного кола. Для цього також існують спеціальні формули:
S = 3&radic- 3r2 = (3&radic- 3 / 4) * R2, де r і R - відповідно радіуси вписаного та описаного кіл.
Відео: Площа рівностороннього трикутника
побудова
Ще один цікавий тип завдань, що стосується в тому числі і трикутників, пов`язаний з необхідністю накреслити ту чи іншу фігуру, використовуючи мінімальний набір 
інструментів: циркуль і лінійку без поділів.
Для того щоб побудувати правильний трикутник за допомогою тільки цих пристосувань, необхідно виконати кілька кроків.
- Потрібно накреслити коло з будь-яким радіусом і з центром в довільно взятій точці А. Її необхідно відзначити.
- Далі потрібно провести пряму через цю точку.
- Перетину кола і прямої необхідно позначити як В і С. Всі побудови повинні проводитися з максимально можливою точністю.
- Далі треба побудувати ще одну окружність з тим же радіусом і центром в точці С або дугу з відповідними параметрами. Місця перетину будуть позначені як D і F.
- Точки B, F, D необхідно з`єднати відрізками. Рівносторонній трикутник побудований.
Рішення подібних завдань зазвичай представляє для школярів проблему, але це вміння може стати в нагоді і в звичайному житті.
