Як обчислити площу піраміди: підстави, бічну і повну?

При підготовці до ЄДІ з математики учням доводиться систематизувати знання з алгебри і геометрії. Хочеться об`єднати всі відомі відомості, наприклад, про те, як обчислити площу піраміди. Причому починаючи від заснування і бічних граней до площі всієї поверхні. Якщо з бічними гранями ситуація зрозуміла, так як вони є трикутниками, то підстава завжди різний.

Як бути при знаходженні площі підстави піраміди?

Воно може бути абсолютно будь-якою фігурою: від довільного трикутника до n-кутника. І це дало підставу, крім відмінності в кількості кутів, може бути правильною фігурою або неправильною. У цікавлять школярів завданнях по ЄДІ зустрічаються тільки завдання з правильними фігурами в підставі. Тому мова йтиме тільки про них.

правильний трикутник

Тобто рівносторонній. Той, у якого всі сторони рівні і позначені літерою «а». У цьому випадку площа основи піраміди обчислюється за формулою:

S = (а² * &radic-3) / 4.

квадрат

Формула для обчислення його площі найпростіша, тут «а» - знову сторона:

S = а².

Довільний правильний n-кутник

У сторони багатокутника той же позначення. Для кількості кутів використовується латинська буква n.

S = (n * а²) / (4 * tg (180º- / n)).

Як вчинити при обчисленні площі бічної і повної поверхні?

Оскільки в основі лежить правильна фігура, то всі грані піраміди виявляються рівними. Причому кожна з них є рівнобедреним трикутником, оскільки бічні ребра рівні. Тоді для того, щоб обчислити бічну площа піраміди, потрібно формула, що складається з суми однакових одночленним. Число доданків визначається кількістю сторін підстави.

Площа рівнобедреного трикутника обчислюється за формулою, в якій половина твори підстави множиться на висоту. Ця висота в піраміді називається апофемой. Її назва - «А». Загальна формула для площі бічної поверхні виглядає так:

S = ½- Р * А, де Р - периметр основи піраміди.

Відео: Піраміда. Обсяг піраміди. Площа повної поверхні піраміди. урок 57

Бувають ситуації, коли не відомі сторони підстави, але дані бічні ребра (в) і плоский кут при її вершині (&alpha-). Тоді потрібно було використовувати таку формулу, щоб обчислити бічну площа піраміди:

S = n / 2 * в² sin &alpha-.

Відео: Стереометрія. ЄДІ. Сторони підстави правильної чотирикутної піраміди

Завдання № 1

Умова. Знайти загальну площу піраміди, якщо в його основі лежить рівносторонній трикутник зі стороною 4 см, а апофема має значення &radic-3 см.

Рішення. Його починати потрібно з розрахунку периметра підстави. Оскільки це правильний трикутник, то Р = 3 * 4 = 12 см. Оскільки апофема відома, то можна відразу обчислити площу всієї бічної поверхні: ½- * 12 *&radic-3 = 6&radic-3 см².

Для трикутника в підставі вийде таке значення площі: (4²*&radic-3) / 4 = 4&radic-3 см².

Для визначення всієї площі буде потрібно скласти два отриманих значення: 6&radic-3 + 4&radic-3 = 10&radic-3 см².

Відповідь. 10&radic-3 см².

Завдання № 2

Умова. Є правильна чотирикутна піраміда. Довжина сторони підстави дорівнює 7 мм, бічне ребро - 16 мм. Необхідно дізнатися площа її поверхні.

Рішення. Оскільки багатогранник - чотирикутний і правильний, то в його основі лежить квадрат. Дізнавшись площі підстави і бічних граней, вдасться порахувати площа піраміди. Формула для квадрата дана вище. А у бічних граней відомі всі сторони трикутника. Тому можна використовувати формулу Герона для обчислення їх площ.

Перші розрахунки прості й призводить до такого числа: 49 мм². Для другого значення потрібно обчислити напівпериметр: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 мм. Тепер можна обчислювати площу рівнобедреного трикутника: &radic- (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16)²) = &radic-2985,9375 = 54,644 мм². Таких трикутників всього чотири, тому при підрахунку підсумкового числа потрібно його помножити на 4.

Виходить: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 мм².

відповідь. Шукане значення 267,576 мм².

Завдання № 3

Умова. У правильної чотирикутної піраміди необхідно обчислити площу. У ній відома сторона квадрата - 6 см і висота - 4 см.

Рішення. Найпростіше скористатися формулою з твором периметра і апофеми. Перше значення знайти просто. Друге трохи складніше.

Доведеться згадати теорему Піфагора і розглянути прямокутний трикутник. Він утворений висотою піраміди і апофемой, яка є гіпотенузою. Другий катет дорівнює половині сторони квадрата, оскільки висота багатогранника падає в його середину.

Шукана апофема (гіпотенуза прямокутного трикутника) дорівнює &radic- (3² + 4²) = 5 (см).

Тепер можна обчислювати шукану величину: ½ - * (4 * 6) * 5 + 6² = 96 (см²).

Відповідь. 96 см².

Завдання № 4

Умова. Дана правильна шестикутна піраміда. Сторони її основи дорівнюють 22 мм, бічні ребра - 61 мм. Чому дорівнює площа бічної поверхні цього багатогранника?

Відео: Стереометрія. ЄДІ. Сторони підстави правильної шестикутної піраміди

Рішення. Міркування в ній такі ж, як були описані в завданні №2. Тільки там була дана піраміда з квадратом в підставі, а тепер це шестикутник.

Насамперед обчислюється площа підстави за вказаною вище формулою: (6 * 22²) / (4 * tg (180º- / 6)) = 726 / (tg30º-) = 726&radic-3 см².

Тепер необхідно дізнатися напівпериметр рівнобедреного трикутника, який є бічною гранню. (22 + 61 * 2): 2 = 72 см. Залишилося за формулою Герона порахувати площа кожного такого трикутника, а потім помножити її на шість і скласти з тієї, що вийшла для заснування.

Розрахунки за формулою Герона: &radic- (72 * (72-22) * (72-61)²) =&radic-435600 = 660 см². Обчислення, які дадуть площа бічної поверхні: 660 * 6 = 3960 см². Залишилося їх скласти, щоб дізнатися всю поверхню: 5217,47&asymp-5217 см².