Бісектриса трикутника і її властивості
Серед численних предметів загальноосвітньої школи є такий, як «геометрія». Традиційно вважається, що родоначальниками цієї систематичної науки є греки. На сьогоднішній день грецьку геометрію називають елементарної, так як саме вона почала вивчення найпростіших форм: площин, прямих, правильних багатокутників і трикутників. На останніх ми і зупинимо свою увагу, а точніше на бісектрисі цієї постаті. Для тих, хто вже призабув, бісектриса трикутника є відрізком бісектриси одного з кутів трикутника, який ділить його навпіл і з`єднує вершину з точкою, розміщеної на протилежній боці.
Відео: Властивості бісектриси трикутника
Бісектриса трикутника має ряд властивостей, які необхідно знати під час вирішення тих чи інших завдань:
Відео: Рівнобедрений трикутник і його властивості. урок 7
- Бісектриса кута є геометричне місце точок, віддалених на однаковій відстані від прилеглих до кута сторін.
- Бісектриса у трикутнику ділить протилежну від кута сторону на відрізки, які пропорційні прилеглим сторонам. Наприклад, дано трикутник MKB, де з кутка K виходить бісектриса, що з`єднує вершину цього кута з точкою A на протилежній стороні MB. Проаналізувавши дане властивість і наш трикутник, маємо MA / AB = MK / KB.
- Точка, в якій перетинаються бісектриси всіх трьох кутів трикутника, є центром кола, яка вписана в цей же трикутник.
- Підстава биссектрис одного зовнішнього і двох внутрішніх кутів знаходяться на одній прямий, за умови, що бісектриса зовнішнього кута не є паралельною протилежної сторони трикутника.
- Якщо дві бісектриси одного трикутника рівні, то цей трикутник рівнобедрений.
Відео: Властивість бісектриси кута трикутника
Необхідно відзначити, що якщо задані три бісектриси, то побудова трикутника за ним, навіть за допомогою циркуля, неможливо.
Відео: Геометрія Бісектриса і її властивість
Дуже часто при вирішенні завдань бісектриса трикутника невідома, а необхідно визначити його довжину. Для вирішення такого завдання необхідно знати кут, який ділиться бісектрисою навпіл, і прилеглі до цього кутку боку. В цьому випадку шукана довжина визначається як відношення подвоєного твори прилеглих до кута сторін і косинуса кута діленого навпіл до суми прилеглих до кута сторін. Наприклад, дано все той же трикутник MKB. Бісектриса виходить з кута K і перетинає протилежний бік МВ в точці А. Кут, з якого виходить бісектриса позначимо y. Нині ж запишемо все те, що сказано словами у вигляді формули: KA = (2 * MK * KB * cos y / 2) / (MK + KB).
Якщо величина кута, з якого виходить бісектриса трикутника, невідома, але відомі всі його сторони, то для обчислення довжини бісектриси ми скористаємося додаткової змінної, яку назвемо напівпериметр і позначимо літерою P: P = 1/2 * (MK + KB + MB). Після цього внесемо деякі зміни в попередню формулу, по якій визначалася довжина бісектриси, а саме, в чисельник дробу ставимо подвоєний корінь квадратний з твору довжин боків, прилеглих до кута, на напівпериметр і приватне, десь із напівпериметр віднімається довжина третьої сторони. Знаменник залишимо без зміни. У вигляді формули це буде виглядати так: KA = 2 *&radic- (MK * KB * P * (P-MB)) / (MK + KB).
Бісектриса в прямокутному трикутнику має всі ті ж властивості, що і в звичайному, Але, крім уже відомих, є і нове: бісектриси гострих кутів прямокутного трикутника при перетині утворюють кут 45 градусів. При необхідності це нескладно довести, використовуючи властивості трикутника і суміжних кутів.
Бісектриса рівнобедреного трикутника разом із загальними властивостями має і кілька своїх. Згадаймо, що це за трикутник. У такого трикутника дві сторони рівні, і рівні прилеглі до основи кути. Звідси випливає, що бісектриси, які опускаються на бічні сторони рівнобедреного трикутника, рівні між собою. Крім того, бісектриса, опущена на основу, одночасно є і висотою, і медіаною.
