Завдання з теорії ймовірності з рішенням. Теорія ймовірності для чайників

Курс математики готує школярам масу сюрпризів, один з яких - це завдання з теорії ймовірності. З рішенням подібних завдань у учнів виникає проблема практично в ста відсотках випадків. Щоб розуміти і розбиратися в даному питанні, необхідно знати основні правила, аксіоми, визначення. Для розуміння тексту в книзі, потрібно знати всі скорочення. Всьому цьому ми і пропонуємо навчитися.

Наука і її застосування

Відео: Основні формули комбінаторики - bezbotvy

Так як ми пропонуємо прискорений курс «теорія ймовірності для чайників», то спочатку необхідно ввести основні поняття і літерні скорочення. Для початку визначимося з самим поняттям «теорія ймовірності». Що ж це за наука і для чого вона потрібна? Теорія ймовірності - це один з розділів математики, який вивчає випадкові явища і величини. Так само вона розглядає закономірності, властивості та операції, що здійснюються з цими випадковими величинами. Для чого вона потрібна? Широке поширення наука отримала в вивченні природних явищ. Будь-які природні та фізичні процеси не обходяться без присутності випадковості. Навіть якщо під час досвіду були максимально точно зареєстровані результати, при повторі того ж випробування, результат з великою ймовірністю не буде таким же.

Приклади завдань з теорії ймовірності ми обов`язково розглянемо, ви самі зможете в цьому переконатися. Результат залежить від безлічі різних факторів, які практично неможливо врахувати або зареєструвати, але тим не менше вони надають величезний вплив на результат досвіду. Яскравими прикладами можуть служити завдання визначення траєкторії руху планет або визначення прогнозу погоди, ймовірність зустріти знайомого людини під час шляху на роботу і визначення висоти стрибка спортсмена. Так само теорія ймовірності надає велику допомогу брокерам на фондових біржах. Завдання з теорії ймовірності, з рішенням якої раніше виникало багато проблем, стане для вас справжньою дрібницею після трьох-чотирьох прикладів, наведених нижче.

події

Як вже говорилося раніше, наука вивчає події. Теорія ймовірностей, приклади розв`язання задач ми розглянемо трохи пізніше, вивчає тільки один вид - випадкові. Але тим не менш необхідно знати, що події можуть бути трьох видів:

• Неможливі.
• Достовірні.
• Випадкові.

Пропонуємо трохи обумовити кожен з них. Неможливе подія ніколи не відбудеться, ні за яких умов. Прикладами можуть служити: замерзання води при плюсовій температурі, витягування кубика з мішка з кулями.

Достовірна подія відбувається завжди зі стовідсотковою гарантією, якщо виконані всі умови. Наприклад: ви отримали заробітну плату за виконану роботу, отримали диплом про вищу професійну освіту, якщо сумлінно вчилися, здали іспити і захистили диплом і так далі.

з випадковими подіями все трохи складніше: в ході досвіду воно може відбутися чи ні, наприклад, витягнути туз з карткової колоди, зробивши не більше трьох спроб. Результат можна отримати як з першої спроби, так і, взагалі, не отримати. Саме ймовірність походження події і вивчає наука.

імовірність

Це в загальному сенсі оцінка можливості вдалого результату досвіду, при якому настає подія. Імовірність оцінюється на якісному рівні, особливо якщо кількісна оцінка неможлива або скрутна. Завдання з теорії ймовірності з рішенням, точніше з оцінкою ймовірності події, передбачає перебування тієї самої можливої частки щасливого кінця. Імовірність в математиці - це числова характеристики події. Вона приймає значення від нуля до одиниці, позначається буквою Р. Якщо Р дорівнює нулю, то подія відбутися не може, якщо одиниці, то подія відбудеться зі стовідсотковою ймовірністю. Чим більше Р наближається до одиниці, тим сильніше ймовірність щасливого кінця, і навпаки, якщо близько до нуля, то і подія відбудеться з малою вірогідністю.

скорочення

Завдання з теорії ймовірності, з рішенням якої ви незабаром зіткнетеся, може містити такі скорочення:

• !;
• {};
• N;
• Р і Р (Х);
• А, В, С і т. Д;
• n;
• m.

Відео: Математика. Випуск 25. Рішення задач теорії ймовірностей

Можливі й деякі інші: у міру необхідності будуть вноситися додаткові пояснення. Пропонуємо, для початку, пояснити представлені вище скорочення. Першим в нашому списку зустрічається факторіал. Для того щоб було зрозуміло, наведемо приклади: 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 або 3! = 1 * 2 * 3. Далі, в фігурних дужках пишуть задані безлічі, наприклад: {1-2-3-4 -..- n} або {10-140-400-562}. Наступне позначення - це безліч натуральних чисел, досить часто зустрічається в завданнях з теорії ймовірності. Як вже говорилося раніше, Р - це ймовірність, а Р (Х) - це ймовірність походження події Х. Великими літерами латинського алфавіту позначаються події, наприклад: А - попався біла куля, В - синій, С - червоний або відповідно,,. Маленька буква n - це кількість за всіма можливими результатами, а m - кількість благополучних. Звідси і отримуємо правило знаходження класичної ймовірності в елементарних завданнях: Р = m / n. Теорія ймовірності «для чайників», напевно, і обмежується даними знаннями. Тепер для закріплення переходимо до вирішення.

Завдання 1. Комбінаторика

Студентська група налічує тридцять чоловік, з яких необхідно вибрати старосту, його заступника і профорга. Необхідно знайти кількість способів зробити дану дію. Подібне завдання може зустрітися на ЄДІ. Теорія ймовірності, рішення задач якої ми зараз розглядаємо, може включати завдання з курсу комбінаторики, знаходження класичної ймовірності, геометричній і завдання на основні формули. В даному прикладі ми вирішуємо завдання з курсу комбінаторики. Переходимо до вирішення. Це завдання найпростіше:

1. n1 = 30 - можливих старост студентської групи;
2. n2 = 29 - ті, хто можуть зайняти пост заступника;
3. n3 = 28 людина претендує на посаду профорга.

Все, що нам залишається зробити, це знайти можливу кількість варіантів, тобто перемножити всі показники. В результаті ми отримуємо: 30 * 29 * 28 = 24360.

Це і буде відповіддю на поставлене запитання.

Відео: Основи теорії ймовірностей

Завдання 2. Перестановка

На конференції виступають 6 учасників, порядок визначається жеребкуванням. Нам потрібно знайти кількість можливих варіантів жеребкування. В даному прикладі, ми розглядаємо перестановку з шести елементів, тобто нам потрібно знайти 6!

У пункті скорочень ми вже згадували, що це таке і як обчислюється. Разом виходить, що існує 720 варіантів жеребкування. На перший погляд важке завдання має цілком короткий і просте рішення. Це і є завдання, які розглядає теорія ймовірності. Як вирішувати завдання більш високого рівня, ми розглянемо в наступних прикладах.

завдання 3

Групу студентів з двадцяти п`яти чоловік необхідно розбити на три підгрупи по шість, дев`ять і десять чоловік. Ми маємо: n = 25, k = 3, n1 = 6, n2 = 9, n3 = 10. Залишилося підставити значення в потрібну формулу, ми одержуємо: N25 (6,9,10). Після нескладних обчислень ми отримуємо відповідь - 16 360 143 800. Якщо в завданні не говориться про те, що необхідно отримати числове рішення, то можна дати його в вигляді факториалов.

завдання 4

Три людини загадали числа від одного до десяти. Знайдіть ймовірність того, що у кого-то числа співпадуть. Спочатку ми повинні дізнатися число всіх результатів - в нашому випадку це тисяча, тобто десять в третього ступеня. Тепер знайдемо кількість варіантів, коли все загадали різні числа, для цього перемножуємо десять, дев`ять і вісім. Звідки взялися ці числа? Перший загадує число, у нього є десять варіантів, другий має вже дев`ять, а третій треба вибирати з восьми залишилися, таким чином отримуємо 720 можливих варіантів. Як вже ми порахували раніше, всього варіантів 1000, а без повторень 720, отже, нас цікавлять залишилися 280. Тепер нам потрібна формула знаходження класичної ймовірності: Р =. Ми отримали відповідь: 0,28.