Теорія ймовірності. Імовірність події, випадкові події (теорія ймовірності). Незалежні і несумісні події в теорії ймовірності

Навряд чи багато людей замислюються, чи можна прорахувати події, які в тій чи іншій мірі випадкові. Висловлюючись простими словами, реально дізнатися, яка сторона кубика в гральних кістках випаде наступного разу. Саме цим питанням задалися два великих учених, які поклали край початок такої науки, як теорія ймовірності, ймовірність події в якій вивчається досить широко.

зародження

Якщо спробувати дати визначення такого поняття, як теорія ймовірності, то вийде наступне: це один з розділів математики, який займається вивченням сталості випадкових подій. Ясна річ, дане поняття толком не розкриває всю суть, тому необхідно розглянути її більш детально.

Хотілося б почати з творців теорії. Як було вище згадано, їх було двоє, це П`єр Ферма і Блез Паскаль. Саме вони одні з перших спробували з використанням формул і математичних обчислень прорахувати результат тієї чи іншої події. В цілому ж зачатки цієї науки виявлялися ще в середньовіччі. У той час різні мислителі і вчені намагалися проаналізувати азартні ігри, такі як рулетка, кістки і так далі, тим самим встановити закономірність і процентне співвідношення випадання того чи іншого числа. Фундамент же був закладений в сімнадцятому столітті саме вищезазначеними вченими.

Спочатку їх праці не можна було віднести до великих досягнень в цій області, адже все, що вони зробили, це були просто емпіричні факти, а досліди ставилися наочно, без використання формул. Згодом вийшло домогтися великих результатів, які з`явилися внаслідок спостереження за киданням кісток. Саме цей інструмент допоміг вивести перші виразні формули.

однодумці

Не можна не згадати про таку людину, як Християн Гюйгенс, в процесі вивчення теми, що носить назву "теорія ймовірності" (ймовірність події висвітлюється саме в цій науці). Дана персона дуже цікава. Він, так само як і представлені вище вчені, намагався у вигляді математичних формул вивести закономірність випадкових подій. Примітно, що робив він це не спільно з Паскалем і Ферма, тобто всі його праці ніяк не перетиналися з цими умами. Гюйгенс вивів основні поняття теорії ймовірності.

Цікавим є той факт, що його робота вийшла задовго до результатів праць першовідкривачів, а точніше, на двадцять років раніше. Серед позначених понять відоміший за все стали:

• поняття ймовірності як величини шансу;
• математичне очікування для дискретних випадків;
• теореми множення й додавання ймовірностей.

Також не можна не згадати Якоба Бернуллі, який теж зробив вагомий внесок у вивченні проблеми. Проводячи свої, ні від кого не залежать випробування, він зумів представити доказ закону великих чисел. У свою чергу, вчені Пуассон і Лаплас, які працювали на початку дев`ятнадцятого століття, змогли довести початкові теореми. Саме з цього моменту для аналізу помилок в ході спостережень почали використовувати теорію ймовірностей. Стороною обійти цю науку не змогли і російські вчені, а точніше Марков, Чебишев і Дяпунов. Вони, виходячи з зробленого великих геніїв, закріпили даний предмет як розділу математики. Працювали ці діячі вже в кінці дев`ятнадцятого століття, і завдяки їхньому внеску, були доведені такі явища, як:

• закон великих чисел;
• теорія ланцюгів Маркова;
• центральна гранична теорема.

Відео: Спільні та несумісні події, обчислення ймовірності суми двох подій

Отже, з історією зародження науки і з основними персонами, що вплинули на неї, все більш-менш зрозуміло. Зараз же настав час конкретизувати всі факти.

Основні поняття

Перед тим як торкатися законів і теорем, варто вивчити основні поняття теорії ймовірностей. Подія в ній займає чільну роль. Дана тема досить об`ємна, але без неї не вдасться розібратися в усьому іншому.

Подія в теорії ймовірності - етолюбая сукупність результатів проведеного досвіду. Понять даного явища існує не так мало. Так, вчений Лотман, що працює в цій галузі, висловився, що в даному випадку мова йде про те, що «сталося, хоча могло і не статися».

випадкові події (Теорія ймовірності приділяє їм особливу увагу) - це поняття, яке має на увазі абсолютно будь-яке явище, має можливість статися. Або ж, навпаки, цей сценарій може не трапитися при виконанні безлічі умов. Також варто знати, що захоплюють весь обсяг відбулися явищ саме випадкові події. Теорія ймовірності вказує на те, що всі умови можуть повторюватися постійно. Саме їх проведення отримало назву "досвід" або ж "випробування".

Достовірна подія - це те явище, яке в даному випробуванні на сто відсотків відбудеться. Відповідно, неможлива подія - це те, що не трапиться.

Поєднання пари дій (умовно випадок A і випадок B) є явище, яке відбувається одночасно. Вони позначаються як AB.

Сума пар подій А і В - це С, іншими словами, якщо хоча б одне з них відбудеться (А або В), то вийде С. Формула описуваного явища записується так: С = А + В.

Несумісні події в теорії ймовірності мають на увазі, що два випадки взаємно виключають одна одну. Одночасно вони ні в якому разі не можуть відбутися. Спільні події в теорії ймовірності - це їх антипод. Тут мається на увазі, що якщо відбулося А, то воно ніяк не перешкоджає В.

Протилежні події (теорія ймовірності розглядає їх дуже докладно) прості для розуміння. Найкраще розібратися з ними в порівнянні. Вони майже такі ж, як і несумісні події в теорії ймовірності. Але їхня відмінність полягає в тому, що одне з безлічі явищ в будь-якому випадку повинно відбутися.

Рівноможливими події - це ті дії, можливість повтору яких дорівнює. Щоб було зрозуміліше, можна уявити кидання монети: випадання однієї з її сторін равновероятно випадання інший.

Що сприяє подія легше розглянути на прикладі. Припустимо, є епізод В і епізод А. Перше - це кидок грального кубика з появою непарного числа, а друге - поява числа п`ять на кубику. Тоді виходить, що А сприяє В.

Незалежні події в теорії ймовірності проектуються тільки на два і більше випадків і мають на увазі незалежність якої-небудь дії від іншого. Наприклад, А - випадання решки при киданні монети, а В - діставання валета з колоди. Вони і є незалежні події в теорії ймовірності. З цим моментом стало зрозуміліше.

Зовсім події в теорії ймовірності також припустимі лише для їх безлічі. Вони мають на увазі залежність одного від іншого, тобто явище В може відбутися тільки в тому випадку, якщо А вже відбулося або ж, навпаки, не відбулося, коли це - головна умова для В.

Результат випадкового експерименту, що складається з одного компонента, - це елементарні події. Теорія ймовірності пояснює, що це таке явище, яке відбулося лише одного разу.

Основні формули

Отже, вище було розглянуто поняття "подія", "теорія ймовірності", Визначення основних термінів цієї науки також було дано. Зараз же настав час ознайомитися безпосередньо з важливими формулами. Ці вирази математично підтверджують всі головні поняття в такому непростому предмет, як теорія ймовірності. Імовірність події і тут відіграє величезну роль.

Почати краще з основних формул комбінаторики. І перед тим як приступити до них, варто розглянути, що це таке.

Комбінаторика - це в першу чергу розділ математики, він займається вивченням величезної кількості цілих чисел, а також різних перестановок як самих чисел, так і їх елементів, різних даних і т. П., Що ведуть до появи ряду комбінацій. Крім теорії ймовірності, ця галузь важлива для статистики, комп`ютерної науки і криптографії.

Отже, тепер можна переходити до подання самих формул і їх визначення.

Першою з них буде вираз для числа перестановок, виглядає воно наступним чином:

P_n = n &sdot- (n - 1) &sdot- (n - 2)…3 &sdot- 2 &sdot- 1 = n!

Застосовується рівняння тільки в тому випадку, якщо елементи розрізняються лише порядком розташування.

Тепер буде розглянута формула розміщення, виглядає вона так:

Відео: Залежні і незалежні події, ймовірність добутку двох подій

A_n ^ m = n &sdot- (n - 1) &sdot- (n-2) &sdot- ... &sdot- (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Цей вислів можна застосувати вже не тільки до порядку розміщення елементу, але і до його складу.

Третє рівняння з комбінаторики, і воно ж останнє, називається формулою для числа сполучень:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Поєднанням називаються вибірки, які не впорядковані, відповідно, до них і застосовується дане правило.

З формулами комбінаторики вийшло розібратися без праці, тепер можна перейти до класичного визначення ймовірностей. Виглядає це вираз наступним чином:

P (A) = m: n.

У цій формулі m - це число умов, що сприяють події A, а n - число всіх рівно можливих і елементарних фіналів.

Існує велика кількість виразів, в статті не будуть розглянуті всі, але порушені будуть найважливіші з них такі, як, наприклад, ймовірність суми подій:

P (A + B) = P (A) + P (B) - ця теорема для складання тільки несумісних подій;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - а ця для складання тільки сумісних.

Відео: Математика. Підготовка до ЗНО. Урок 26. Теорія ймовірностей

Імовірність добутку подій:

P (A &sdot- B) = P (A) &sdot- P (B) - ця теорема для незалежних подій;

(P (A &sdot- B) = P (A) &sdot- P (B|A) - P (A &sdot- B) = P (A) &sdot- P (A|B)) - а ця для залежних.

Закінчить список формула подій. Теорія ймовірностей розповідає нам про теоремеБайеса, яка виглядає так:

P (H_m|A) = (P (H_m) P (A|H_m)): (&sum -_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A|H_k)), m = 1, ..., n

У цій формулі H₁, H₂, …, H_n - Це повна група гіпотез.

На цьому зупинимося, далі будуть розглянуті зразки застосування формул для вирішення конкретних завдань з практики.

приклади

Якщо ретельно вивчити будь-який розділ математики, в ньому не обходиться без вправ і зразків рішень. Так і теорія ймовірності: події, приклади тут є невід`ємним компонентом, який підтверджує наукові викладки.

Формула для числа перестановок

Припустимо, в картковій колоді є тридцять карт, починаючи з номіналу один. Далі питання. Скільки є способів скласти колоду так, щоб карти з номіналом один і два були розташовані поруч?

Завдання поставлене, тепер давайте перейдемо до її вирішення. Для початку потрібно визначити число перестановок з тридцяти елементів, для цього беремо представлену вище формулу, виходить P_30 = 30 !.

Виходячи з цього правила, ми дізнаємося, скільки є варіантів скласти колоду по-різному, але нам необхідно відняти з них ті, в яких перша і друга карта будуть поруч. Для цього почнемо з варіанту, коли перша знаходиться над другою. Виходить, що перша карта може зайняти двадцять дев`ять місць - з першого по двадцять дев`яте, а друга карта з другого по тридцяте, виходить всього двадцять дев`ять місць для пари карт. У свою чергу, інші можуть приймати двадцять вісім місць, причому в довільному порядку. Тобто для перестановки двадцяти восьми карт є двадцять вісім варіантів P_28 = 28!

У підсумку виходить, що якщо розглядати рішення, коли перша карта знаходиться над другою, зайвих можливостей вийде 29 &sdot- 28! = 29!

Використовуючи цей же метод, потрібно обчислити число надлишкових варіантів для того випадку, коли перша карта знаходиться під другий. Виходить також 29 &sdot- 28! = 29!

З цього випливає, що зайвих варіантів 2 &sdot- 29 !, в той час як необхідних способів збору колоди 30! - 2 &sdot- 29 !. Залишається тільки порахувати.

30! = 29! &sdot- 30- 30! - 2 &sdot- 29! = 29! &sdot- (30 - 2) = 29! &sdot- 28

Тепер потрібно множити між собою всі числа від одного до двадцяти дев`яти, після чого в кінці помножити все на 28. Відповідь виходить 2,4757335 &sdot- 10 ^ 32

Рішення прикладу. Формула для числа розміщення

У цьому завданню необхідно з`ясувати, скільки є способів, щоб поставити п`ятнадцять томів на одній полиці, але за умови, що за все томів тридцять.

У цьому завданні рішення трохи простіше, ніж у попередній. Використовуючи вже відому формулу, необхідно обчислити сумарне число розташувань з тридцяти томів по п`ятнадцять.

A_30 ^ 15 = 30 &sdot- 29 &sdot- 28&sdot -... &sdot- (30 - 15 + 1) = 30 &sdot- 29 &sdot- 28 &sdot- ... &sdot- 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Відповідь, відповідно, буде дорівнює 202 843 204 931 727 360 000.

Тепер візьмемо завдання трохи складніше. Необхідно дізнатися, скільки є способів розставити тридцять книг на двох книжкових полицях, за умови, що на одній полиці можуть перебувати лише п`ятнадцять томів.

Перед початком вирішення хотілося б уточнити, що деякі завдання вирішуються кількома шляхами, так і в цій є два способи, але в обох застосована одна і та ж формула.

У цьому завданні можна взяти відповідь з попередньої, адже там ми вирахували, скільки разів можна заповнити полку на п`ятнадцять книг по-різному. Вийшло A_30 ^ 15 = 30 &sdot- 29 &sdot- 28 &sdot- ... &sdot- (30 - 15 + 1) = 30 &sdot- 29 &sdot- 28 &sdot- ...&sdot- 16.

Другу ж полку розрахуємо за формулою перестановки, адже в неї поміщається п`ятнадцять книг, в той час як за все залишається п`ятнадцять. Використовуємо формулу P_15 = 15 !.

Виходить, що в сумі буде A_30 ^ 15 &sdot- P_15 способів, але, крім цього, твір всіх чисел від тридцяти до шістнадцяти треба буде помножити на добуток чисел від одного до п`ятнадцяти, в результаті вийде твір всіх чисел від одного до тридцяти, тобто відповідь дорівнює 30!

Але це завдання можна вирішити і по-іншому - простіше. Для цього можна уявити, що є одна полиця на тридцять книг. Всі вони розставлені на цій площині, але так як умова вимагає, щоб полиць було дві, то ми одну довгу пиляємо навпіл, виходить дві по п`ятнадцять. З цього виходить що варіантів розстановки може бути P_30 = 30 !.

Рішення прикладу. Формула для числа поєднання

Зараз буде розглянуто варіант третього завдання з комбінаторики. Необхідно дізнатися, скільки способів є, щоб розставити п`ятнадцять книг за умови, що вибирати необхідно з тридцяти абсолютно однакових.

Для вирішення буде, звичайно ж, застосована формула для числа сполучень. З умови стає зрозумілим, що порядок однакових п`ятнадцяти книг не важливий. Тому спочатку потрібно з`ясувати загальне число поєднань з тридцяти книг по п`ятнадцять.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

От і все. Використовуючи дану формулу, в найкоротший час вдалося вирішити таке завдання, відповідь, відповідно, дорівнює 155 117 520.

Рішення прикладу. Класичне визначення ймовірності

За допомогою формули, зазначеної вище, можна знайти відповідь в нескладної задачі. Але це допоможе наочно побачити і простежити хід дій.

У задачі дано, що в урні є десять абсолютно однакових кульок. З них чотири жовтих і шість синіх. З урни береться одна кулька. Необхідно дізнатися ймовірність діставання синього.

Для вирішення завдання необхідно позначити діставання синього кульки подією А. Даний досвід може мати десять випадків, які, в свою чергу, елементарні і рівноможливими. У той же час з десяти шість є придатними для події А. Вирішуємо за формулою:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Застосувавши цю формулу, ми дізналися, що можливість діставання синього кульки дорівнює 0,6.

Рішення прикладу. Імовірність суми подій

Зараз буде представлений варіант, який вирішується з використанням формули ймовірності суми подій. Отже, в умови дано, що є два ящика, в першому знаходиться один сірий і п`ять білих кульок, а в другому - вісім сірих і чотири білих кулі. У підсумку з першого і другого короба взяли по одному з них. Необхідно дізнатися, який шанс того, що діставати кульки будуть сірого і білого кольору.

Щоб вирішити це завдання, необхідно позначити події.

• Отже, А - взяли сірий кулька з першого ящика: P (A) = 1/6.
• А&rsquo- - взяли білу кульку також з першого ящика: P (A `) = 5/6.
• В - витягли сірий кулька вже з другого короба: P (B) = 2/3.
• В&rsquo- - взяли сірий кулька з другого ящика: P (B `) = 1/3.

Відео: Онлайн-заняття з теорії ймовірностей

За умовою завдання необхідно, щоб сталося одне з явищ: АВ&rsquo- або ж А&rsquo-В. Використовуючи формулу, отримуємо: P (AB `) = 1/18, P (A`B) = 10/18.

Зараз була використана формула по множенню ймовірності. Далі, щоб дізнатися відповідь, необхідно застосувати рівняння їх складання:

P = P (AB `+ A`B) = P (AB`) + P (A`B) = 11/18.

Ось так, використовуючи формулу, можна вирішувати такі завдання.

підсумок

У статті була представлена інформація по темі "Теорія ймовірності", Ймовірність події в якій грає найважливішу роль. Звичайно ж, не все було враховано, але, виходячи з представленого тексту, можна теоретично ознайомитися з даним розділом математики. Вже згадана наука може стати в нагоді не тільки в професійному справі, а й у повсякденному житті. З її допомогою можна прорахувати будь-яку можливість якої-небудь події.

У тексті були порушені також знаменні дати в історії становлення теорії ймовірності як науки, і прізвища людей, чиї праці були в неї вкладені. Ось так людська цікавість привело до того, що люди навчилися прораховувати навіть випадкові події. Колись вони просто зацікавилися цим, а сьогодні про це вже знають всі. І ніхто не скаже, що чекає нас в майбутньому, які ще геніальні відкриття, пов`язані з розглянутою теорією, будуть здійснені. Але одне можна сказати точно - дослідження на місці не стоять!