Метод гаусса: приклади рішень і окремі випадки

Метод Гаусса, також званий методом покрокового виключення невідомих змінних, названий ім`ям видатного німецького вченого К.Ф. Гаусса, ще за життя отримав неофіційний титул "короля математики". Однак даний метод був відомий задовго до зародження європейської цивілізації, ще в I ст. до н. е. древні китайські вчені використовували його в своїх працях.

Метод Гаусса є класичним способом вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Він ідеальний для швидкого вирішення обмежених за розміром матриць.

Сам метод складається з двох ходів: прямого і зворотного. Прямим ходом називається послідовне приведення СЛАР до трикутного вигляду, тобто обнулення значень, що знаходяться під головною діагоналлю. Зворотний хід передбачає послідовне знаходження значень змінних, висловлюючи кожну змінну через попередню.

Навчитися застосовувати на практиці метод Гаусса просто, достатньо знання елементарних правил множення, додавання і віднімання чисел.

Для того щоб наочно показати алгоритм вирішення лінійних систем даним методом, розберемо один приклад.

Отже, вирішити, використовуючи метод Гаусса:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Нам потрібно в другій і третій рядках позбутися змінної х. Для цього ми додаємо до них першу, помножену на -2 і -4 відповідно. отримаємо:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Тепер 2-й рядок помножимо на 5 і додамо її до 3-ої:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Ми привели нашу систему до трикутного вигляду. Тепер здійснюємо зворотний хід. Починаємо з останнього рядка:
-3z = -18,
z = 6.

Другий рядок:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Перший рядок:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
х = -3

Підставляючи отримані значення змінних в вихідні дані, переконуємося в правильності рішення.

Даний приклад може вирішуватися безліччю будь-яких інших підстановок, але відповідь повинна вийти той же самий.

Буває так, що на провідній першому рядку розташовані елементи з дуже малими значеннями. Це не страшно, але досить ускладнює обчислення. Рішенням даної проблеми є метод Гаусса з вибором головного елемента по стовпцю. Суть його полягає в наступному: в першому рядку відшукується максимальний по модулю елемент, той стовпець, в якому він розташований, міняють місцями з 1-м стовпцем, тобто наш максимальний елемент стає першим елементом головної діагоналі. Далі йде стандартний процес обчислення. При необхідності процедуру поміняються місцями стовпців можна повторити.

Ще одним модифікованим методом Гаусса є метод Жордана-Гаусса.

Застосовується при вирішенні квадратних СЛАР, при знаходженні оберненої матриці та рангу матриці (кількості ненульових рядків).

Суть цього методу в тому, що вихідна система шляхом перетворень перетворюється в одиничну матрицю з подальшим відшукання значень змінних.

Алгоритм його такий:

1. Система рівнянь приводиться, як і в методі Гаусса, до трикутного вигляду.

2. Кожен рядок ділиться на певне число з таким розрахунком, щоб на головній діагоналі вийшла одиниця.

3. Останній рядок множиться на якесь число і віднімається з передостанньої з таким розрахунком, щоб не на головній діагоналі отримати 0.

4. Операція 3 повторюється послідовно для всіх рядків, поки в кінцевому результаті не утворюється одинична матриця.