Як зробити знаходження визначника матриці?

Знаходження визначника матриці є важливим дією не тільки для лінійної алгебри: так, наприклад, в економіці за допомогою цього обчислення вирішуються системи лінійних рівнянь з багатьма невідомими, широко застосовуються в економічних задачах.

поняття визначника

Визначником, або детермінантою, матриці називають величину, рівну обсягом паралелепіпеда, побудованого на її векторах-рядках або стовпцях. Обчислити цю величину можна тільки для квадратної матриці, у якій кількість рядків і стовпців однаково. Якщо члени матриці - числа, то і детермінант буде числом.

Відео: Як знайти визначник матриці 2х2, 3х3 і 4х4

обчислення визначників

Слід пам`ятати, що існує кілька правил, які можуть значно полегшити подібні розрахунки.

Відео: Як знаходити зворотну матрицю - bezbotvy

Так детермінант матриці, що складається з одного члена, дорівнює єдиному її елементу. Обчислити визначник другого порядку неважко, для цього досить з твору членів головної діагоналі відняти твір елементів, розташованих на побічної діагоналі.

Обчислення визначника 3 порядку найпростіше проводити за правилом трикутника. Для цього виконуємо наступні дії:

1. Знаходимо твір трьох членів матриці, розташованих на її головнійдіагоналі.
2. Перемножуємо по три члена, що знаходяться на трикутниках, підстави яких паралельні головній діагоналі.
3. Повторюємо перше і друге дію для побічної діагоналі.
4. Знаходимо суму всіх одержані в попередніх розрахунках значень, при цьому числа, отримані в третьому пункті, беремо зі знаком мінус.

Щоб з легкістю провести знаходження визначника матриці 4 порядку, а також більш високих розмірностей, необхідно розглянути властивості, якими володіють всі детермінанти:

1. Значення визначника не змінюється після транспонування матриці.
2. Перестановка місцями двох сусідніх рядків або стовпців веде до зміни знака детермінанта.
3. Якщо в матриці є дві рівних рядки чи шпальти, або всі елементи стовпця (рядка) нульові, то її визначник дорівнює нулю.
4. Множення чисел матриці на якесь число веде до збільшення її детермінанта в таку ж кількість разів.

Використання вищеназваних властивостей допомагає з легкістю здійснювати знаходження визначника матриці будь-якого порядку. Наприклад, використовуючи для цього метод пониження порядку, при якому відбувається розкладання детермінанта за елементами рядка (стовпчика), помноженим на алгебраїчне доповнення.

Ще одним способом, який значно спрощує знаходження визначника матриці, є приведення її до трикутного вигляду, коли всі елементи, що знаходяться під головною діагоналлю дорівнюють нулю. В даному випадку детермінант матриці розраховується як добуток чисел, розташованих на цій діагоналі.

І наостанок хотілося б відзначити, що обчислення визначників, хоча і складається з, здавалося б, нескладних математичних розрахунків, проте вимагає значної уважності й посидючості.