Математична матриця. Множення матриць

Ще математики стародавнього Китаю використовували в своїх обчисленнях запис у вигляді таблиць з певною кількістю рядків і стовпців. Тоді подібні математичні об`єкти іменувалися як «чарівні квадрати». Хоча відомі і випадки використання таблиць в вигляді трикутників, які так і не набули широкого поширення.

На сьогоднішній день під математичної матрицею прийнято розуміти об`ёкт прямокутної форми із заданою кількістю стовпців і знаків, які і визначають розміри матриці. У математиці така форма запису знайшла широке застосування для запису в компактному вигляді систем диференціальних, а також лінійних алгебраїчних рівнянь. Прийнято, що кількість рядків в матриці дорівнює числу присутнім в системі рівнянь, кількості стовпців відповідає, скільки невідомих необхідно визначити в ході рішення системи.

Крім того, що сама по собі матриця в ході її рішення призводить до знаходження невідомих, закладених в умова системи рівнянь, існує ряд алгебраїчних операцій, які допускається здійснювати над даними математичним об`єктом. Цей перелік включає в себе складання матриць, що мають однакові розміри. Множення матриць з відповідними розмірами (можна перемножити лише матрицю, з одного боку має кількість стовпців, що дорівнює кількості рядків у матриці з іншого боку). Також допускається множити матрицю на вектор, або на елемент поля або основної кільця (інакше скаляр).

Відео: 17. Множення матриць. Зведення матриці в ступінь

Розглядаючи множення матриць, слід уважно стежити, щоб кількість стовпців першої строго відповідало числу рядків другої. Інакше дане дійстві над матрицями буде не визначено. Згідно з правилом, за яким здійснюється множення матриці на матрицю, кожен елемент в новій матриці прирівнюється до суми добутків відповідних елементів з рядків першої матриці на елементи, взяті з стовпців іншої.

Для наочності розглянемо приклад, як відбувається множення матриць. Беремо матрицю A

2 3 -2

3 Разом 4 0

Відео: Вища Математика (Множення матриці на число)

-1 2 -2,

множимо її на матрицю B

3 -2

1 0

4 -3.

Елемент першого рядка першого шпальти результуючої матриці дорівнює 2 * 3 + 3 * 1 + (- 2) * 4. Відповідно, в першому рядку в другому стовпці буде елемент рівний 2 * (- 2) + 3 * 0 + (- 2) * (- 3), і так далі до заповнення кожного елемента нової матриці. Правило множення матриць передбачає, що результатом твору матриці з параметрами m x n на матрицю, що має співвідношення n x k, стане таблиця, яка володіє розмірами m x k. Слідуючи цьому правилу можна зробити висновок, що твір так званих квадратних матриць відповідно однотипні завжди визначено.

З властивостей, якими володіє множення матриць, слід виділити в якості одного з основних те, що ця операція не є комутативність. Тобто твір матриці M на N не дорівнює добутку N на M. Якщо в квадратних матрицях одного порядку спостерігається, що їх пряме і зворотне твори завжди визначені, відрізняючись лише результатом, то для прямокутних матриць така умова визначеності не завжди виконується.

У множення матриць існує ряд властивостей, які мають чіткі математичні докази. Асоціативність множення на увазі вірність наступного математичного виразу: (MN) K = M (NK), Де M, N, і K - матриці, які мають параметри, при яких множення визначено. Дистрибутивність множення передбачає, що M (N + K) = MN + MK, (M + N) K = MK + NK, L (MN) = (LM) N + M (LN), де L - число.

Наслідком з властивості множення матриць, іменованого «асоціативність», слід, що в творі, що містить від трьох і більше сомножителей, допускається запис без використання дужок.

Використання властивості дистрибутивности дає можливість розкривати дужки при розгляді матричних виразів. Звертаємо увагу, якщо ми розкриваємо дужки, то потрібно зберігати порядок співмножників.

Використання матричних виразів дозволяє не тільки компактно виробляти запис громіздких систем рівнянь, а й полегшує процес їх обробки і рішення.