Основне поняття теорії ймовірності. Закони теорії ймовірності

Багато, зіткнувшись з поняттям «теорія ймовірності», лякаються, думаючи, що це щось непосильний, дуже складне. Але все насправді не так трагічно. Сьогодні ми розглянемо основне поняття теорії ймовірності, навчимося вирішувати завдання на конкретних прикладах.

наука

Відео: Основні поняття теорії ймовірностей

Що ж вивчає такий розділ математики, як «теорія ймовірності»? Вона зазначає закономірності випадкових подій і величин. Вперше цим питанням зацікавилися вчені ще у вісімнадцятому столітті, коли вивчали азартні ігри. Основне поняття теорії ймовірності - подія. Це будь-який факт, який констатується досвідом або наглядом. Але що ж таке досвід? Ще одне основне поняття теорії ймовірності. Воно означає, що цей склад обставин створений не випадково, а з певною метою. Що стосується спостереження, то тут дослідник сам не бере участі в досвіді, а просто є свідком цих подій, він ніяк не впливає на те, що відбувається.

події

Ми дізналися, що основне поняття теорії ймовірності - це подія, але не розглянули класифікацію. Всі вони поділяються на такі категорії:

• Достовірні.
• Неможливі.
• Випадкові.

Незалежно від того, які це події, за якими спостерігають або створюють в ході досвіду, всі вони схильні до цієї класифікації. Пропонуємо з кожним з видів познайомитися окремо.

достовірна подія

Це така обставина, перед яким зроблено необхідний комплекс заходів. Для того щоб краще вникнути в суть, краще навести кілька прикладів. Цьому закону підпорядковані і фізика, і хімія, і економіка, і вища математика. Теорія ймовірності включає таке важливе поняття, як достовірна подія. Наведемо приклади:

• Ми працюємо і отримуємо винагороду у вигляді заробітної плати.
• Здали добре іспити, пройшли конкурс, за це отримуємо винагороду у вигляді вступу до навчального закладу.
• Ми вклали гроші в банк, при необхідності отримаємо їх назад.

Такі події є достовірними. Якщо ми виконали всі необхідні умови, то обов`язково отримаємо очікуваний результат.

неможливі події

Зараз ми розглядаємо елементи теорії ймовірності. Пропонуємо перейти до пояснення такого вигляду події, а саме - неможливого. Для початку зазначимо найважливіше правило - ймовірність неможливого події дорівнює нулю.

Від цього формулювання можна відступати при вирішенні завдань. Для пояснення наведемо приклади таких подій:

• Вода замерзла при температурі плюс десять (це неможливо).
• Відсутність електроенергії ніяк не впливає на виробництво (так само неможливо, як і в попередньому прикладі).

Більш прикладів наводити не варто, так як описані вище дуже яскраво відображають суть даної категорії. Неможливе подія ніколи не відбудеться під час досвіду ні за яких обставин.

випадкові події

Вивчаючи елементи теорії ймовірності, особливу увагу варто приділити саме даному виду події. Саме їх і вивчає дана наука. В результаті досвіду може щось статися чи ні. Крім цього, випробування може проводитися необмежену кількість разів. Яскравими прикладами можуть служити:

• Кидок монети - це досвід, або випробування, випадання орла - це подія.
• Витягування м`ячика з мішка наосліп - випробування, попався червоний куля - це подія і так далі.

Таких прикладів може бути необмежена кількість, але, в загальному, суть повинна бути зрозуміла. Для узагальнення і систематизування отриманих знань про події наведена таблиця. Теорія ймовірності вивчає тільки останній вид з усіх представлених.

закони

Теорія ймовірності - це наука, що вивчає можливість випадання якого-небудь події. Як і інші, вона має деякі правила. Існують наступні закони теорії ймовірності:

• Збіжність послідовностей випадкових величин.
• Закон великих чисел.

При розрахунку можливості складного можна використовувати комплекс простих подій для досягнення результату більш легким і швидким шляхом. Відзначимо, що закони теорії ймовірності легко доводяться за допомогою деяких теорем. Пропонуємо для початку познайомитися з першим законом.

Збіжність послідовностей випадкових величин

Відзначимо, що видів збіжності кілька:

• Послідовність випадкових величин збіжність за ймовірністю.
• Майже неможливе.
• Среднеквадратическая збіжність.
• Збіжність з розподілу.

Так, з літа, дуже важко вникнути в суть. Наведемо визначення, які допоможуть розібратися в даній темі. Для початку перший вид. послідовність називають збіжність за ймовірністю, якщо дотримано таких умов: n прямує до нескінченності, число, до якого прагне послідовність, більше нуля і наближена до одиниці.

Переходимо до наступного вигляду, майже напевно. Кажуть, що послідовність сходиться майже напевно до випадкової величиною при n, яка прагне до нескінченності, і Р, яка прагне до величини, наближеною до одиниці.

Наступний тип - це збіжність среднеквадратическая. При використанні СК-збіжності вивчення векторних випадкових процесів зводиться до вивчення їх координатних випадкових процесів.

Залишився останній тип, давайте розберемо коротко і його, щоб переходити безпосередньо до вирішення завдань. Збіжність з розподілу має і ще одну назву - «слабке», далі пояснимо, чому. слабка збіжність - Це збіжність функцій розподілу в усіх точках безперервності граничної функції розподілу.

Обов`язково виконаємо обіцянку: слабка збіжність відрізняється від всіх перерахованих вище тим, що випадкова величина не визначена на імовірнісному просторі. Це можливо тому, що умова формується виключно з використанням функцій розподілу.

Закон великих чисел

Відмінними помічниками при доказі цього закону стануть теореми теорії ймовірності, такі як:

• Нерівність Чебишева.
• Теорема Чебишева.
• Узагальнена теорема Чебишева.
• Теорема Маркова.

Якщо будемо розглядати всі ці теореми, то це питання може затягнутися на кілька десятків листів. У нас же основне завдання - це застосування теорії ймовірності на практиці. Пропонуємо вам прямо зараз цим і зайнятися. Але перед цим розглянемо аксіоми теорії ймовірностей, вони будуть основними помічниками при вирішенні завдань.

аксіоми

З першої ми вже познайомилися, коли говорили про неможливе подію. Давайте згадувати: ймовірність неможливого події дорівнює нулю. Приклад ми приводили дуже яскравий і запам`ятовується: випав сніг при температурі повітря тридцять градусів за Цельсієм.

Друга звучить наступним чином: достовірна подія відбувається з ймовірністю, яка дорівнює одиниці. Тепер покажемо, як це записати за допомогою математичної мови: Р (В) = 1.

Третя: Випадкова подія може відбутися чи ні, але можливість завжди варіюється в межах від нуля до одиниці. Чим ближче значення до одиниці, тим шансів більше-якщо значення наближається до нуля, ймовірність дуже мала. Запишемо це математичною мовою: 0lt; Р (С) lt; 1.

Розглянемо останню, четверту аксіому, яка звучить так: ймовірність суми двох подій дорівнює сумі їх ймовірностей. Записуємо математичною мовою: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Аксіоми теорії ймовірностей - це найпростіші правила, які не важко запам`ятати. Спробуємо вирішити деякі завдання, спираючись на вже отримані знання.

Лотерейний квиток

Для початку розглянемо найпростіший приклад - лотерея. Уявіть, що ви купили один лотерейний квиток на удачу. Яка ймовірність, що ви виграєте не менше двадцяти рублів? Всього в тиражі бере участь тисяча квитків, один з яких має приз в п`ятсот рублів, десять по сто рублів, п`ятдесят по двадцять рублів, а сто - по п`ять. Завдання з теорії ймовірності засновані на тому, щоб знайти можливість удачі. Зараз разом розберемо рішення вище представленого завдання.

Якщо ми буквою А позначимо виграш в п`ятсот рублів, то ймовірність випадання А дорівнюватиме 0,001. Як ми це отримали? Просто необхідно кількість "щасливих" квитків розділити на загальне їх число (в даному випадку: 1/1000).

Відео: 01 Основні поняття теорії ймовірностей

В - це виграш в сто рублів, ймовірність буде дорівнювати 0,01. Зараз ми діяли за тим же принципом, що і в минулому дії (10/1000)

З - виграш дорівнює двадцяти рублям. Знаходимо ймовірність, вона дорівнює 0,05.

Решта квитків нас не цікавлять, тому що їх призовий фонд менше заданого в умові. Застосуємо четверту аксіому: Імовірність виграти не менше двадцяти рублів складає Р (А) + Р (В) + Р (С). Буквою Р позначається ймовірність походження даної події, ми в попередніх діях вже їх знайшли. Залишилося тільки скласти необхідні дані, у відповіді ми отримуємо 0,061. Це число і буде відповіддю на питання завдання.

карткова колода

Завдання з теорії ймовірності бувають і більш складними, для прикладу візьмемо наступне завдання. Перед вами колода з тридцяти шести карт. Ваше завдання - витягнути дві карти поспіль, не перемішуючи стопку, перша і друга карти повинні бути тузами, масть значення не має.

Для початку знайдемо ймовірність того, що перша карта буде тузом, для цього чотири ділимо на тридцять шість. Відклали його в сторону. Дістаємо другу карту, це буде туз з ймовірністю три тридцять п`ятих. Імовірність другої події залежить від того, яку карту ми витягли першої, нам цікаво, був це туз чи ні. З цього випливає, що подія В залежить від події А.

Наступним дією знаходимо ймовірність одночасного здійснення, тобто перемножуємо А і В. Їх твір знаходиться в такий спосіб: ймовірність однієї події множимо на умовну ймовірність іншого, яку ми обчислюємо, припускаючи, що перша подія відбулася, тобто першою картою ми витягли туз.

Для того щоб стало все зрозуміло, дамо позначення такого елементу, як умовна ймовірність події. Обчислюється вона, припускаючи, що подія А сталося. Розраховується наступним чином: Р (В / А).

Продовжимо рішення нашої задачі: Р (А_*В) = Р (А)_*Р (В / А) або Р (А_*В) = Р (В)_*Р (А / В). Імовірність дорівнює (4/36)_*((3/35) / (4/36). Обчислюємо, округляючи до сотих. Ми маємо: 0,11_*(0,09 / 0,11) = 0,11_*0,82 = 0,09. Імовірність того, що ми витягнемо два туза поспіль, дорівнює дев`яти сотим. Значення дуже мало, з цього випливає, що і ймовірність походження події вкрай мала.

забутий номер

Пропонуємо розібрати ще кілька варіантів завдань, які вивчає теорія ймовірності. Приклади розв`язання деяких з них ви вже бачили в даній статті, спробуємо вирішити наступне завдання: хлопчик забув останню цифру номера телефону свого друга, але так як дзвінок був дуже важливий, то почав набирати все по черзі. Нам необхідно обчислити ймовірність того, що він подзвонить не більше трьох разів. Рішення завдання найпростіше, якщо відомі правила, закони і аксіоми теорії ймовірності.

Відео: теорія ймовірності

Перед тим як дивитися рішення, спробуйте вирішити самостійно. Нам відомо, що остання цифра може бути від нуля до дев`яти, тобто всього десять значень. Імовірність набрати потрібну становить 1/10.

Далі нам потрібно розглядати варіанти походження події, припустимо, що хлопчик вгадав і відразу набрав потрібну, ймовірність такого події дорівнює 1/10. Другий варіант: перший дзвінок промах, а другий в ціль. Розрахуємо ймовірність такого події: 9/10 множимо на 1/9, в результаті отримуємо також 1/10. Третій варіант: перший і другий дзвінок виявилися не за адресою, тільки з третього хлопчик потрапив туди, куди хотів. Обчислюємо ймовірність такого події: 9/10 множимо на 8/9 і на 1/8, отримуємо в підсумку 1/10. Інші варіанти за умовою завдання нас не цікавлять, тому нам залишилося скласти отримані результати, в результаті ми маємо 3/10. Відповідь: ймовірність того, що хлопчик подзвонить не більше трьох разів, дорівнює 0,3.

Картки з числами

Перед вами дев`ять карток, на кожній з яких написано число від одного до дев`яти, цифри не повторюються. Їх поклали в коробку і ретельно перемішали. Вам необхідно розрахувати ймовірність того, що

• випаде парне число;
• двухзначное.

Перед тим як переходити до вирішення, обговоримо, що m - це число вдалих випадків, а n - це загальна кількість варіантів. Знайдемо ймовірність того, що число буде парним. Не важко буде порахувати, що парних чисел чотири, це і буде наша m, всього можливо дев`ять варіантів, тобто m = 9. Тоді ймовірність дорівнює 0,44 або 4/9.

Розглядаємо другий випадок: кількість варіантів дев`ять, а вдалих результатів бути взагалі не може, тобто m дорівнює нулю. Імовірність того, що витягнута картка буде містити двозначним числом, так само дорівнює нулю.