Евклід простір: поняття, властивості, ознаки
Відео: Олексій Семіхатов: Час. Деякі властивості та ознаки
Ще в школі всі учні знайомляться з поняттям «евклідова геометрія», основні положення якої сфокусовані навколо декількох аксіом, що спираються на такі геометричні елементи, як точка, площина, пряма, руху. Всі вони в сукупності формують те, що вже давно відомо під терміном «евклидово простір».
евклидово простір, визначення якого базується на положенні про скалярном множенні векторів, є окремим випадком лінійного (аффінного) простору, яке задовольняє цілому ряду вимог. По-перше, скалярний добуток векторів абсолютно симетрично, тобто вектор з координатами (x-y) в кількісному плані тотожний вектору з координатами (y-x), однак протилежний за напрямком.
По-друге, в тому випадку, якщо проводиться скалярний твір вектора з самим собою, то результат цієї дії буде носити позитивний характер. Єдиним винятком стане випадок, коли початкова і кінцева координата цього вектора дорівнює нулю: в цьому випадку і твір його з самим собою той же дорівнюватиме нулю.
По-третє, має місце дистрибутивність скалярного твори, тобто можливість розкладання однією з його координат на суму двох значень, що не спричинить за собою ніяких змін в підсумковому результаті скалярного множення векторів. Нарешті, по-четверте, при множенні векторів на одне і те ж дійсне число їх скалярний добуток також збільшиться в стільки ж разів.
У тому випадку, якщо виконуються всі ці чотири умови, ми можемо з упевненістю сказати, що перед нами евклидово простір.
Відео: Геометрія простору всесвіту. Частина 1. # простір
Евклід простір з практичної точки зору можна охарактеризувати наступними конкретними прикладами:
- Найпростіший випадок - це наявність безлічі векторів з певним за основними законами геометрії скалярним твором.
- Евклід простір вийде і в тому випадку, якщо під векторами ми будемо розуміти якесь кінцеве безліч дійсних чисел із заданою формулою, яка описує їх скалярную суму або твір.
- Окремим випадком евклидова простору слід визнати так зване нульове простір, яке виходить в тому випадку, якщо скалярная довжина обох векторів дорівнює нулю.
Евклід простір має цілу низку специфічних властивостей. По-перше, скалярний множник можна виносити за дужки як від першого, так і від другого сомножителя скалярного твори, результат від цього не зазнає ніяких змін. По-друге, поряд з дистрибутивного першого елемента скалярного твори, діє і дистрибутивність другого елементу. Крім того, крім скалярною суми векторів, дистрибутивність має місце і в разі віднімання векторів. Нарешті, по-третє, при скалярному множенні вектора на нуль, результат також буде дорівнює нулю.
Відео: §48 ортонормированном базис евклідового простору
Таким чином, евклидово простір - це найважливіше геометричне поняття, яке використовується при вирішенні задач з взаємним розташуванням векторів один щодо одного, для характеристики якого використовується таке поняття, як скалярний твір.
