Вектор. Сума векторів
Вивчення математики призводить до постійного збагачення і збільшення різноманіття засобів моделювання об`єктів і явищ навколишнього середовища. Так, розширення поняття числа дозволяє представити кількісну характеристику об`єктів навколишнього середовища, за допомогою нових класів геометричних фігур виходить описувати різноманітність їх форм. Але розвиток природничих наук і запити самої математики вимагають введення і вивчення нових і нових засобів моделювання. Зокрема, велика кількість фізичних величин неможливо охарактеризувати тільки числами, тому що важливо і напрямок їх дії. А завдяки тому, що спрямовані відрізки характеризують і напрямки, числові значення, то на цій основі і вийшло нове поняття математики - поняття вектора.
Виконання основних математичних дій над ними теж визначилося за фізичними міркуваннями, і це врешті-решт призвело до основи векторної алгебри, яка зараз виконує величезну роль під час формування фізичних теорій. Одночасно з цим, в математиці, такий вид алгебри і її узагальнення стали дуже зручним мовою, а також засобом отримання і визначення нових результатів.
Що ж таке вектор?
Вектором називають сукупність усіх спрямованих відрізків, що мають однакову довжину і заданий напрямок. Кожен з відрізків цієї сукупності називають зображенням вектора.
Відео: Геометрія 8 клас - Додавання і віднімання векторів
Зрозуміло, що вектор позначається своїм зображенням. Все спрямовані відрізки, які зображують вектор а, мають однакову довжину і напрямок, які називаються, відповідно, довжиною (модулем, абсолютним значенням) і напрямком вектора. Його довжина позначається IaI. Два вектора називають рівними, якщо у них однаковий напрямок і однакова довжина.
Спрямований відрізок, початком якого є точка А, а кінцем - точка В, однозначно характеризується упорядкованим парою точок (А- В). Розглянемо також безліч пар (А- А), (В-В)…. Це безліч позначає вектор, який називається нульовим і позначається 0. Зображенням нульового вектора є будь-яка точка. Модуль нульового вектора вважається рівним нулю. Поняття напрямки нульового вектора не визначено.
Для будь-якого ненульового вектора визначають вектор, протилежний заданому, тобто такий, який має таку ж довжину, але протилежний зміст. Вектори, які мають однакове або протилежні напрямки, називаються колінеарними.
Можливості застосування векторів пов`язані з введенням дій над векторами і створенням векторної алгебри, яка має багато спільних властивостей зі звичайною «числовий» алгеброю (хоча, звичайно, є і суттєві відмінності).
Відео: Сума векторів. правило паралелограма
Додавання двох векторів (неколінеарних) виконується за правилом трикутника (помістимо початок вектора b в кінець вектора a, тоді вектор a + b з`єднує початок вектора a з кінцем вектора b) Або паралелограма (помістимо початку векторів a і b в одну точку, тоді вектор a + b, маючи початок в тій же точці, є діагоналлю паралелограма, який побудований на векторах a і b). Сума векторів (декількох) можна виконати, скориставшись правилом багатокутника. Якщо доданки колінеарні, то відповідні геометричні конструкції скорочуються.
Операції з векторами, які задані координатами, зводяться до операцій з числами: додавання векторів - складання відповідних координат, наприклад, якщо а = (х1- в1), а b = (Х2 у2), то a + b = (x1 + x2 - y1 + y2).
Відео: о1 Сума векторів, проекція вектора на вісь
Правило додавання векторів має всі алгебраїчними властивості, які притаманні додаванню чисел:
- Від перестановки доданків сума не змінюється:
a + b = b + a
Сума векторів за допомогою цієї властивості випливає з правила паралелограма. Дійсно, какая разница, в якому порядку підсумувати вектори a і b, якщо діагональ паралелограма все одно одна і та ж? - Властивість асоціативності:
(A + b) + c = a + (b + c). - Додаток до вектору нульового вектора нічого не змінює:
a +0 = a
Це абсолютно очевидно, якщо уявити собі таке складання з точки зору правила трикутника. - У кожного вектора a є протилежний вектор, що позначається - a- складання векторів, позитивних і негативних, буде дорівнювати нулю: a + (- a) = 0.
