Основні правила диференціювання, що застосовуються в математиці

Для початку варто згадати про те, що таке диференціал і який математичний сенс він несе.

Диференціалом функції називається твір похідною функції від аргументу на диференціал самого аргументу. Математично це поняття можна записати, як вираз: dy = y `* dx.

У свою чергу, за визначенням похідної функції справедливо рівність y `= lim dx-0 (dy / dx), а з визначення межі - вираз dy / dx = x` +&alpha-, де параметром &alpha- є нескінченно мала математична величина.

Отже, обидві частини виразу варто помножити на dx, що в підсумку дає dy = y `* dx +&alpha- * dx, де dx - це нескінченно мала зміна аргументу, (&alpha- * dx) - величина, якою можна знехтувати, тоді dy - приріст функції, а (y * dx) - головна частина приросту або диференціал.

Диференціалом функції називається твір похідною функції на диференціал аргументу.

Тепер варто розглянути основні правила диференціювання, які досить часто використовують в математичному аналізі.

Теорема. Похідна суми дорівнює сумі похідних, отриманих від доданків: (а + с) `= а` + с `.

Аналогічним чином це правило буде діяти і для знаходження похідної різниці.
Наслідком даного правила диференціювання є твердження про те, що похідна від деякого числа доданків дорівнює сумі похідних, отриманих від даних доданків.

Наприклад, якщо необхідно знайти похідну від виразу (а + з-к) `, тоді результатом буде вираз а` + с`-к `.

Теорема. Похідна твори математичних функцій, що диференціюються в точці, дорівнює сумі, що складається з твору першого множника на похідну другого і твори другого множника на похідну першого.

Математично теорема буде записана наступним чином: (a * c) `= а * з` + а `* с. Наслідком теореми є висновок про те, що постійний множник в похідною твори можна виносити за похідну функції.

У вигляді алгебраїчного вираження дане правило буде записано таким чином: (а * с) `= а * з`, де а = const.

Наприклад, якщо необхідно знайти похідну виразу (2а3) `, то результатом буде відповідь: 2 * (а3)` = 2 * 3 * 2 = 6 * А2.

Теорема. Похідна відносини функцій дорівнює відношенню між різницею похідною чисельника, помноженої на знаменник, і чисельника, помноженого на похідну знаменника і квадрата знаменника.

Відео: Таблиця похідних

Математично теорема буде записана наступним чином: (a / c) `= (а` * з-а * з `) / с².

На закінчення необхідно розглянути правила диференціювання складних функцій.

Теорема. Нехай задана фукция у = ф (х), де х = с (т), тоді функція у, по відношенню до змінної т, називається складною.

Таким чином, в математичному аналізі похідна складної функції трактується, як похідна самої функції, помножена на похідну від неї подфункции. Для зручності правила диференціювання складних функцій представляють у вигляді таблиці.

При регулярному використанні даної таблиці похідні легко запам`ятовуються. Решта похідні складних функцій можна знайти, якщо застосувати правила диференціювання функцій, які були викладені в теоремах і наслідки до них.