Прямокутний трикутник: поняття та властивості

Рішення геометричних задач вимагає величезної кількості знань. Одним з основоположних визначень цієї науки є прямокутний трикутник.

Під цим поняттям мається на увазі геометрична фігура, що складається з трьох кутів і сторін, причому величина одного з кутів становить 90 градусів. Сторони, що становлять прямий кут, носять назви катети, третя ж сторона, яка протіволежіт йому, носить назву гіпотенузи.

Якщо катети в такій фігурі рівні, вона називається рівнобедрений прямокутний трикутник. У цьому випадку має місце приналежність до двох видам трикутників, а значить, дотримуються властивості обох груп. Згадаймо, що кути біля основи рівнобедреного трикутника абсолютно завжди рівні, отже гострі кути такої фігури будуть включати по 45 градусів.

Наявність одного з наступних властивостей дозволяє стверджувати, що один прямокутний трикутник дорівнює іншому:

1. катети двох трикутників рівні;
2. фігури мають однакові гипотенузу і один з катетів;
3. рівні гіпотенуза і будь-який з гострих кутів;
4. дотримується умова рівності катета і гострого кута.

Площа прямокутного трикутника з легкістю обчислюється як за допомогою стандартних формул, так і як величина, що дорівнює половині твори його катетів.

У прямокутному трикутнику дотримуються наступні співвідношення:

1. катет є не що інше, як середнім пропорційним гіпотенузи і його проекції на неї;
2. якщо описати близько прямокутного трикутника коло, її центр буде знаходитися в середині гіпотенузи;
3. висота, проведена з прямого кута, є середнім пропорційним з проекціями катетів трикутника на його гіпотенузу.

Цікавим є те, що яким би не був прямокутний трикутник, властивості ці завжди дотримуються.

теорема Піфагора

Крім вищеназваних властивостей для прямокутних трикутників характерно дотримання наступного умови: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Теорема ця зветься по імені її засновника - теорема Піфагора. Він відкрив це співвідношення, коли займався вивченням властивостей квадратів, побудованих на сторонах прямокутного трикутника.

Відео: Властивості прямокутних трикутників.

Для доведення теореми побудуємо трикутник АВС, катети у якого позначимо a і b, а гіпотенузу с. Далі побудуємо два квадрата. У одного стороною буде гіпотенуза, в іншого сума двох катетів.

Тоді площа першого квадрата можна буде знайти двома способами: як суму площ чотирьох трикутників АВС і другого квадрата, або як квадрат боку, природно, що співвідношення ці дорівнюватимуть. Тобто:

Відео: Властивості прямокутних трикутників. Знання з математики

з² + 4 (ab / 2) = (a + b)², перетворимо вийшло вираз:

з²+2 ab = a² + b² + 2 ab

В результаті отримуємо: з² = a² + b²

Таким чином, геометрична фігура прямокутний трикутник відповідає не тільки всіма властивостями, характерними для трикутників. Наявність прямого кута веде до того, що фігура має інші унікальними співвідношеннями. Їх вивчення стане в нагоді не тільки в науці, а й у повсякденному житті, так як така фігура, як прямокутний трикутник, зустрічається повсюдно.