Похідні чисел: методи обчислення і приклади
Мабуть, поняття похідної знайоме кожному з нас ще зі школи. Зазвичай в учнів виникають труднощі з розумінням цієї, без сумніву, дуже важливу річ. Вона активно застосовується в різних сферах життя людей, і багато інженерні розробки були засновані саме на математичних розрахунках, отриманих за допомогою похідної. Але перш ніж перейти до розбору того, що ж таке похідні чисел, як їх обчислювати і де вони нам стануть в нагоді, зануримося трохи в історію.
Історія
Поняття похідної, що є основою математичного аналізу, було відкрито (краще навіть сказати "винайдено", Тому що в природі воно як таке не існувало) Ісааком Ньютоном, якого ми всі знаємо з відкриття закону всесвітнього тяжіння. Саме він вперше застосував у фізиці це поняття для зв`язування природи швидкості і прискорення тел. І багато вчених досі вихваляють Ньютона за це чудове винахід, адже по суті він винайшов основу диференціального й інтегрального числення, фактично основу цілої області математики під назвою "математичний аналіз". Будь в той час Нобелівська премія, Ньютон з великою ймовірністю отримав би її кілька разів.
Не обійшлося і без інших великих умів. Крім Ньютона над розвитком похідною і інтеграла потрудилися такі імениті генії математики, як Леонард Ейлер, Луї Лагранж і Готфрід Лейбніц. Саме завдяки їм ми отримали теорію диференціального обчислення в такому вигляді, в якому вона існує донині. До речі, це Лейбніц відкрив геометричний зміст похідної, яка виявилася нічим іншим, як тангенсом кута нахилу дотичної до графіка функції.
Що ж таке похідні чисел? Трохи повторимо те, що проходили в школі.
Що таке похідна?
Визначати це поняття можна кількома різними способами. Найпростіше пояснення: похідна - це швидкість зміни функції. Уявімо графік якої-небудь функції y від x. Якщо це не пряма, то вона має деякі вигини в графіку, періоди зростання і зменшення. Якщо брати якийсь нескінченно малий проміжок цього графіка, він буде представляти собою відрізок прямої. Так ось, відношення розміру цього нескінченно малого відрізка по координаті y до розміру по координаті x і буде похідною даної функції в даній точці. Якщо розглядати функцію в цілому, а не в конкретній точці, то ми отримаємо функцію похідною, тобто якусь залежність ігрек від ікс.
До того ж крім фізичного сенсу похідної як швидкості зміни функції є ще і геометричний сенс. Про нього ми зараз і поговоримо.
геометричний сенс
Похідні чисел самі по собі є якесь число, яке без належного розуміння не несе ніякого сенсу. Виявляється, похідна не тільки показує швидкість росту або зменшення функції, а також тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції в даній точці. Не зовсім зрозуміле визначення. Розберемо його детальніше. Припустимо, у нас є графік будь-якої функції (для інтересу візьмемо криву). На ній є безліч точок, але є такі області, де тільки одна єдина точка має максимум або мінімум. Через будь-яку таку точку можна провести пряму, яка була б перпендикулярна графіка функції в цій точці. Така лінія буде називатися дотичній. Припустимо, ми провели її до перетину з віссю OX. Так ось, отриманий між дотичній і віссю OX кут і буде визначатися похідною. А точніше, тангенс цього кута буде дорівнювати їй.
Відео: Математика. Правила обчислення похідних. Приклади розв`язання задач # 1
Поговоримо трохи про окремі випадки і розберемо похідні чисел.
окремі випадки
Як ми вже говорили, похідні чисел - це значення похідної в конкретній точці. Ось наприклад, візьмемо функцію y = x2. Похідна х - число, а в загальному випадку - функція, що дорівнює 2 * x. Якщо нам необхідно обчислити похідну, скажімо, в точці x0= 1, то отримуємо y `(1) = 2 * 1 = 2. Все дуже просто. Цікавий випадок являє похідна комплексного числа. Вдаватися в докладне пояснення того, що таке комплексне число, ми не будемо. Скажемо лише, що це число, яке містить в собі так звану уявну одиницю - число, квадрат якого дорівнює -1. Обчислення такої похідної можливо лише за наявності таких умов:
1) Має бути створено приватні похідні першого порядку від дійсної і уявної частини по ігрек і по ікс.
2) Виконуються умови Коші-Рімана, пов`язані з рівністю приватних похідних, описаних в першому пункті.
Відео: Найпростіші правила обчислення похідних
Іншим цікавим випадком, хоча і не таким складним як попередній, є похідна негативного числа. Насправді будь-яке негативне число можна представити як позитивне, помножене на -1. Ну а похідна постійної і функції дорівнює постійної, помноженої на похідну функції.
Цікаво буде дізнатися про роль похідної в повсякденному житті, і саме це зараз і обговоримо.
застосування
Напевно, кожен з нас хоч раз в житті ловить себе на думці, що математика навряд чи стане в нагоді йому. А така складна штука, як похідна, напевно, взагалі не має застосування. Насправді, математика - фундаментальна наука, і все її плоди розвиває в основному фізика, хімія, астрономія і навіть економіка. Похідна поклала початок математичного аналізу, який дав нам можливість робити висновки з графіків функцій, і ми навчилися інтерпретувати закони природи і звертати їх на свою користь завдяки йому.
Відео: Як знаходити похідну - bezbotvy
висновок
Звичайно, не кожному, можливо, стане в нагоді похідна в реальному житті. Але математика розвиває логіку, яка вже точно буде потрібна. Адже не дарма математику називають царицею наук: з неї складаються основи розуміння інших областей знань.
