Ряд маклорена і розкладання деяких функцій

Вивчають вищу математику повинно бути відомо, що сумою якогось статечного ряду, що належить інтервалу збіжності даного нам ряду, виявляється безперервне і безмежне число разів диференційована функція. Виникає питання: чи можна стверджувати, що задана довільна функція f (х) - це сума якогось статечного ряду? Тобто за яких умов ф-ія f (х) може бути зображена статечним рядом? Важливість такого питання полягає в тому, що існує можливість наближено замінити ф-ію f (х) сумою декількох перших членів статечного ряду, тобто многочленом. Така заміна функції досить простим виразом - многочленом - є зручною і при вирішенні деяких завдань математичного аналізу, а саме: при вирішенні інтегралів, при обчисленні диференціальних рівнянь і т.д.

Доведено, що для якоїсь ф-ії f (х), в якій можна обчислити похідні до (n + 1) -го порядку, включаючи останній, в околиці (&alpha-- R- x₀+ R) деякої точки х = &alpha- справедливою є формула:

Дана формула носить ім`я відомого вченого Брука Тейлора. Ряд, який отримують з попереднього, називається ряд Маклорена:

Відео: Лекція 11: Формула Тейлора. Розкладання по формулі Маклорена деяких елементарних функцій

Правило, яке дає можливість зробити розкладання в ряд Маклорена:

Визначити похідні першого, другого, третього ... порядків.
Вирахувати, чому дорівнюють похідні в х = 0.
Записати ряд Маклорена для даної функції, після чого визначити інтервал його збіжності.
Визначити інтервал (-R-R), де залишкова частина формули Маклорена

R_n(Х) -gt; 0 при n -gt; нескінченності. У разі якщо такий існує, в ньому функція f (х) повинна збігатися з сумою ряду Маклорена.

Розглянемо тепер ряди Маклорена для окремих функцій.

1. Отже, першою буде f (x) = е^х. Зрозуміло, що за своїми особливостями така ф-ія має похідні самих різних порядків, причому f^(K)(Х) = e^x, де k дорівнює всім натуральним числам. Підставами х = 0. отримаємо f^(K)(0) = e⁰= 1, k = 1,2 ... Виходячи з вищесказаного, ряд е^хбуде виглядати наступним чином:

2. Ряд Маклорена для функції f (х) = sin х. Відразу ж уточнимо, що ф-ія для всіх невідомих матиме похідні, до того ж f^`(Х) = cos х = sin (х + п / 2), f^``(Х) = -sin х = sin (х + 2 * п / 2) ..., f^(K)(Х) = sin (х + k * п / 2), де k дорівнює будь-якому натуральному числу. Тобто, провівши нескладні розрахунки, можемо прийти до висновку, що ряд для f (х) = sin х буде такого виду:

3. Тепер спробуємо розглянути ф-ію f (х) = cos х. Вона для всіх невідомих має похідні довільного порядку, причому | f^(K)(X) | = | Cos (х + k * п / 2) | lt; = 1, k = 1,2 ... Знову-таки, зробивши певні розрахунки, отримаємо, що ряд для f (х) = cos х буде виглядати так:

Отже, ми перерахували найважливіші функції, які можуть бути розкладені в ряд Маклорена, проте їх доповнюють ряди Тейлора для деяких функцій. Зараз ми перерахуємо і їх. Варто також відзначити, що ряди Тейлора і Маклорена є важливою частиною практикуму рішення рядів у вищій математиці. Отже, ряди Тейлора.

1. Першим буде ряд для ф-ії f (х) = ln (1 + x). Як і в попередніх прикладах, для даної нам f (х) = ln (1 + х) можна скласти ряд, використовуючи загальний вигляд ряду Маклорена. однак для цієї функції ряд Маклорена можна отримати значно простіше. Проинтегрировав якийсь геометричний ряд, ми отримаємо ряд для f (х) = ln (1 + х) такого зразка: