Похідна синуса кута дорівнює косинусу того ж кута

Дана найпростіша функція тригонометрії у = Sin (х), вона диференційована в кожній своїй точці з усієї області визначення. Необхідно довести, що похідна синуса будь-якого аргументу дорівнює косинусу того ж кута, тобто у&rsquo- = Cos (х).

Доказ грунтується на визначенні похідної функції

Відео: Геометричний зміст похідної. Тема

Задамо х (довільне) в деякій малій околиці &Delta-х конкретної точки х₀. Покажемо значення функції в ній і в точці х, щоб знайти приріст заданої функції. якщо &Delta-х - приріст аргументу, то новий аргумент - це х₀+&Delta-x = х, значення даної функції при заданому значенні аргументу у (х) дорівнює Sin (х₀+&Delta-x), значення функції в конкретній точці у (х₀) Теж відомо.

тепер маємо &Delta-у = Sin (х₀+&Delta-х) -Sin (х₀) - Отримане приріст функції.

Відео: 03. Геометричний зміст похідної

За формулою синуса суми двох неоднакових кутів будемо перетворювати різницю &Delta-у.

&Delta-у = Sin (х₀)·-Cos (&Delta-х) + Cos (х₀)·-Sin (&Delta-x) мінус Sin (х₀) = (Cos (&Delta-x) -1)·-Sin (х₀) + Cos (х₀)·-Sin (&Delta-х).

Виконали перестановку доданків, згрупували перші з третім Sin (х₀), Винесли загальний множник - синус - за дужки. Отримали в вираженні різниця Cos (&Delta-х) -1. Залишилося змінити знак перед дужкою і в дужках. Знаючи, чому дорівнює 1-Cos (&Delta-х), зробимо заміну і отримаємо спрощене вираз &Delta-у, яке потім розділимо на &Delta-х.
&Delta-у /&Delta-х буде мати вигляд: Cos (х₀)·-Sin (&Delta-х) /&Delta-х-2·-Sin²(0,5·-&Delta-х)·-Sin (х₀) /&Delta-х. Це і є відношення приросту функції до допущеному приросту аргументу.

Залишилося знайти межа отриманого нами відносини lim при &Delta-х, який прагне до нуля.

Відомо, що межа Sin (&Delta-х) /&Delta-x дорівнює 1, при цьому умови. А вираз 2·-Sin²(0,5·-&Delta-х) /&Delta-х в отриманому приватному підведемо перетвореннями до твору, який містить в якості множника перший чудовий межа: чисельник і знеменатель дробу розділимо на 2, квадрат синуса замінимо твором. Ось так:
(Sin (0,5·-&Delta-x) / (0,5·- &Delta-x))·-Sin (&Delta-x / 2).
Межа цього виразу при &Delta-х, що прямує до нуля, буде дорівнює числу нуль (1 помножити на 0). Виходить, що межа відносини &Delta-y /&Delta-х дорівнює Cos (х₀)·-1-0, це і є Cos (х₀), Вираз, яке не залежить від &Delta-х, який прагне до 0. Звідси випливає висновок: похідна синуса будь-якого кута х дорівнює косинусу х, запишемо так: у&rsquo- = Cos (х).

Отримана формула занесена в відому таблицю похідних, де зібрані всі елементарні функції

При вирішенні завдань, де зустрічається похідна синуса, можна користуватися правилами диференціювання і готовими формулами з таблиці. Наприклад: знайти похідну найпростішої функції у = 3·-Sin (х) -15. Скористаємося елементарними правилами диференціювання, виносу числового множника за знак похідної, і обчислення похідної постійного числа (вона дорівнює нулю). Застосуємо табличне значення похідної синуса кута х, рівне Cos (х). Отримуємо відповідь: y `= 3·-Cos (x) -O. Ця похідна, в свою чергу, теж є елементарною функцією у = З·-Cos (х).

Похідна синуса в квадраті від будь-якого аргументу

При обчисленні цього виразу (Sin²(Х))&rsquo- необхідно згадати, як диференціюється складна функція. Отже, у = Sin²(Х) - є ступеневою функцією, так як синус в квадраті. Аргументом її є теж тригонометрическая функція, складний аргумент. Результат в цьому випадку дорівнює добутку, перший множник якого похідна квадрата даного складного аргументу, а другий - похідна від синуса. Ось як виглядає правило диференціювання функції від функції: (u (v (х))) `дорівнює (u (v (х)))`·- (v (х)) `. Вираз v (х) - складний аргумент (внутрішня функція). Якщо дана функція "ігрек дорівнює синусу в квадраті х", То похідна цієї складної функції буде у `= 2·-Sin (х)·-Cos (x). У творі перший подвоєний множник - похідна відомої статечної функції, а Cos (х) - похідна синуса, аргументу складної квадратичної функції. Остаточний результат можна перетворити, скориставшись тригонометричної формулою синуса подвійного кута. Відповідь: похідна дорівнює Sin (2·-x). Ця формула легко запам`ятовується, нею часто користуються як табличній.