Безперервна функція

Безперервна функція являє собою функцію без «стрибків», тобто таку, для якої виконується умова: малих змін аргументу слідують малі зміни відповідних значень функції. Графік подібної функції вдає із себе плавну або безперервну криву.

Безперервність в точці, граничної для деякого безлічі, можна визначити за допомогою поняття межі, а саме: функція повинна мати в цій точці межа, який дорівнює її значенню в граничної точці.

При порушенні цих умов в певній точці, кажуть, що функція в цій точці терпить розрив, тобто її безперервність порушується. Мовою меж точку розриву можна описати як розбіжність значення функції в розривної точці з межею функції (якщо він існує).

Точка розриву може бути усуненою, для цього необхідне існування границі функції, але неспівпадаючого з його значенням в заданій точці. У цьому випадку її в цій точці можна «поправити», тобто доопределить до безперервності.
Зовсім інша картина складається, якщо границі функції в заданій точці не існує. Можливо два варіанти точок розриву:

• першого роду - є і кінцеві обидва з односторонніх меж, і значення одного з них або обох не збігаються зі значенням функції в заданій точці;
• другого роду, коли не існує один або обидва з односторонніх меж або їх значення нескінченні.

Властивості неперервних функцій

Відео: Безперервність функції. Знайти точки розриву

• Функція, отримана в результат арифметичних дій, а також суперпозиції неперервних функцій на їх області визначення також є безперервною.
• Якщо дана безперервна функція, яка позитивна в деякій точці, завжди можна знайти досить малу її околиця, на якій вона збереже свій знак.
• Аналогічно, якщо її значення в двох точках A і B рівні, відповідно, a і b, причому a відмінно від b, то для проміжних точок вона прийме всі значення з проміжку (a - b). Звідси можна зробити цікавий висновок: якщо дати розтягнутої гумки стиснутися так, щоб вона не провисала (залишалася прямолінійною), то одна з її точок залишиться нерухомою. А геометрично це означає, що існує пряма, що проходить через будь-яку проміжну крапку між A і B, яка перетинає графік функції.

Відзначимо деякі з безперервних (на області їх визначення) елементарних функцій:

• постійна;
• раціональна;
• тригонометричні.

Між двома фундаментальними поняттями в математиці - безперервністю і дифференцируемого - існує нерозривний зв`язок. Досить тільки згадати, що для дифференцируемости функції необхідно, щоб це була безперервна функція.

Якщо ж функція в деякій точці дифференцируема, то там вона неперервна. Однак зовсім не обов`язково, щоб і її похідна була безперервною.

Функція, що має на деякій множині безперервну похідну, належить окремого класу гладких функцій. Інакше кажучи, це - безперервно диференціюється функція. Якщо ж похідна має обмежена кількість точок розриву (тільки першого роду), то подібну функцію називають кусочно гладкої.

Ще одним важливим поняттям математичного аналізу є рівномірна неперервність функції, тобто її здатність бути в будь-якій точці своєї області визначення однаково безперервної. Таким чином, це властивість, яке розглядається на безлічі точок, а не в якійсь окремо взятій.

Відео: Безперервна випадкова величина і її властивості

Якщо ж зафіксувати точку, то вийде не що інше, як визначення безперервності, тобто з наявності рівномірну неперервність випливає, що перед нами безперервна функція. Взагалі кажучи, зворотне твердження не так. Однак відповідно до теореми Кантора, якщо функція неперервна на компакті, тобто на замкнутому проміжку, то вона на ньому рівномірно неперервна.