Арифметична прогресія

Завдання по арифметичній прогресії існували вже в далекій давнині. Вони з`являлися і вимагали рішення, оскільки мали практичну необхідність.

Відео: арифметичній прогресії. ЯК ЗНАЙТИ БУДЬ ЇЇ ЕЛЕМЕНТ. Артур Шаріфов

Так, в одному з папірусів Стародавнього Єгипту, що має математичний зміст, - папірусі Райнд (XIX століття до нашої ери) - міститься таке завдання: роздягли десять заходів хліба на десять чоловік, за умови якщо різниця між кожним з них становить одну восьму заходи ».

І в математичних працях стародавніх греків зустрічаються витончені теореми, що мають відношення до арифметичної прогресії. Так, Гипсикл Олександрійський (II століття до нашої ери), склав чимало цікавих завдань і додав чотирнадцяту книгу до «Початкам» Евкліда, сформулював думку: «В арифметичній прогресії, що має парне число членів, сума членів 2-ї половини більше суми членів 1-ої на число, кратне квадрату 1/2 числа членів ».

Візьмемо довільний ряд натуральних чисел (Більше нуля): 1, 4, 7, … n-1, n, …, який називають числовою послідовністю.

Позначається послідовність an. Числа послідовності називаються її членами і позначаються звичайно буквами з індексами, які вказують порядковий номер цього члени (a1, a2, a3 … читається: «a 1-е», «a 2-е», «a 3-тє» і так далі).

Послідовність може бути нескінченною або кінцевою.

А що ж таке арифметична прогресія? Під нею розуміють послідовність чисел, одержувану складанням попереднього члена (n) з одним і тим же числом d, що є різницею прогресії.

Якщо dlt; 0, то ми маємо спадну прогресію. Якщо dgt; 0, то така прогресія вважається зростаючої.

Арифметична прогресія називається кінцевої, якщо враховуються тільки кілька її перших членів. При дуже великій кількості членів це вже нескінченна прогресія.

Здається будь арифметична прогресія наступною формулою:

an = kn + b, при цьому b і k - деякі числа.

Абсолютно вірно твердження, що є зворотним: якщо послідовності задається подібної формулою, то це точно арифметична прогресія, яка має властивості:

Кожен член прогресії - середнє арифметичне попереднього члена і наступного.
Зворотне: якщо, починаючи з 2-ого, кожен член - середнє арифметичне попереднього члена та наступного, тобто якщо виконується умова, то дана послідовність - арифметична прогресія. Це рівність одночасно є і ознакою прогресії, тому його, як правило, називають характеристичним властивістю прогресії.
Точно так же вірна теорема, яка відображає цю властивість: послідовність - арифметична прогресія тільки в тому випадку, якщо це рівність вірно для будь-якого з членів послідовності, починаючи з 2-ої.

Відео: Математика - Арифметична прогресія

Характеристичне властивість для чотирьох будь-яких чисел арифметичної прогресії може бути виражено формулою an + am = ak + al, якщо n + m = k + l (m, n, k - числа прогресії).

В арифметичній прогресії будь-який необхідний (N-й) член знайти можна, застосовуючи таку формулу:

an = a1 + d (n-1).

Наприклад: перший член (a1) в арифметичної прогресії заданий і дорівнює трьом, а різниця (d) дорівнює чотирьом. Знайти потрібно сорок п`ятого член цієї прогресії. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Формула an = ak + d (n - k) дозволяє визначити n-й член арифметичної прогресії через будь-який її k-тий член за умови, якщо він відомий.

Сума членів арифметичної прогресії (мається на увазі 1-і n членів кінцевої прогресії) обчислюється таким чином:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Якщо відомі різниця арифметичної прогресії і 1-ий член, то для обчислення зручна інша формула:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Сума арифметичній прогресії, яка містить n членів, підраховується таким чином: