Числова послідовність: поняття, властивості, способи завдання

Числова послідовність і її межа є однією з найважливіших проблем математики протягом всієї історії існування цієї науки. Постійно поповнюються знання, що формулюються нові теореми і докази - все це дозволяє розглядати дане поняття з нових позицій і під різними кутом зору.

Відео: 02 Числові послідовності

Числова послідовність, відповідно до одним з найпоширеніших визначень, являє собою математичну функцію, основою якої служить безліч натуральних чисел, розташованих згідно з тією чи іншою закономірності.

Відео: Послідовності. Тема

Ця функція може вважатися певною, якщо відомий закон, відповідно до якого для кожного натурального числа можна чітко визначити дійсне число.

Існує кілька варіантів створення числових послідовностей.

По-перше, ця функція може бути задана так званим «явним» способом, коли є певна формула, за допомогою якої кожен її член може бути визначений простою підстановкою порядкового номера в задану послідовність.

Другий спосіб отримав назву «реккурентная». Його суть полягає в тому, що задаються кілька перших членів числової послідовності, а також спеціальна реккурентная формула, за допомогою якої, знаючи попередній член, можна знайти наступний.

Нарешті, найбільш загальним способом завдання послідовностей є так званий "аналітичний метод", коли без особливих зусиль можна не тільки виявити той чи інший член під певним порядковим номером, а й, знаючи кілька послідовних членів, прийти до загальної формули даної функції.

Числова послідовність може бути спадної або зростаючій. У першому випадку кожен подальшої її член менше попереднього, а в другому - навпаки, більше.

Розглядаючи дану тему, можна залишити поза увагою питання про межі послідовностей. Межею послідовності називається таке число, коли для будь-якої, в тому числі для нескінченно малої величини, існує порядковий номер, після якого ухилення наступних один за одним членів послідовності від заданої точки в числовому вигляді стає менше величини, заданої ще при формуванні цієї функції.

Відео: Що таке числова послідовність - bezbotvy

Поняття межі числової послідовності активно використовується при проведенні тих чи інших інтегральних та диференціальних числень.

Математичні послідовності мають цілим набором досить цікавих властивостей.

По-перше, будь-яка числова послідовність є приклад математичної функції, отже, ті властивості, які характерні для функцій, можна сміливо застосовувати і для послідовностей. Найяскравішим прикладом таких властивостей є положення про зростаючі і відбувають арифметичних рядах, які об`єднуються одним загальним поняттям - монотонні послідовності.

Відео: Границя числової послідовності. Правила вичесленной меж.

По-друге, існує досить велика група послідовностей, які не можна віднести ні до зростаючим, ні до убутним, - це періодичні послідовності. В математиці ними прийнято вважати ті функції, в яких існує так звана довжина періоду, тобто з певного моменту (n) починає діяти наступне рівність y_n = y_{n + T}, де Т і буде тією самою довжиною періоду.