Парність функції
Парність і непарність функції є одним з основних її властивостей, і дослідження функції на парність займає значну частину шкільного курсу з математики. Вона в багато визначає характер поведінки функції і значно полегшує побудову відповідного графіка.
Відео: Визначення парності функції
Визначимо парність функції. Взагалі кажучи, досліджувану функцію вважають парної, якщо для протилежних значень незалежної змінної (x), що знаходяться в її області визначення, відповідні значення y (функції) виявляться рівними.
Дамо більш суворе визначення. Розглянемо деяку функцію f (x), яка задана в області D. Вона буде парної, якщо для будь-якої точки x, що знаходиться в області визначення:
- -x (протилежна точка) також лежить в цій галузі визначення,
- f (-x) = f (x).
Із наведеного визначення випливає умова, необхідне для області визначення подібної функції, а саме, симетричність щодо точки О, яка є початком координат, оскільки якщо деяка точка b міститься в області визначення парної функції, то відповідна точка - b теж лежить в цій області. Зі сказаного вище, таким чином, втекти висновок: парна функція має симетричний по відношенню до осі ординат (Oy) вид.
Як на практиці визначити парність функції?
Нехай функціональна залежність задається за допомогою формули h (x) = 11 ^ x + 11 ^ (- x). Дотримуючись алгоритму, що випливає безпосередньо з визначення, досліджуємо насамперед її область визначення. Очевидно, що вона визначена для всіх значень аргументу, то є перша умова виконана.
Наступним кроком підставимо замість аргументу (x) його протилежне значення (-x).
отримуємо:
h (-x) = 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
Оскільки складання задовольняє комутативну (переместительному) закону, то очевидно, h (-x) = h (x) і задана функціональна залежність - парна.
Перевіримо парність функції h (x) = 11 ^ x-11 ^ (- x). Слідуючи тим же алгоритмом, отримуємо, що h (-x) = 11 ^ (- x) -11 ^ x. Винісши мінус, в результаті, маємо
h (-x) = - (11 ^ x-11 ^ (- x)) = - h (x). Отже, h (x) - непарна.
До речі, слід нагадати, що їсти функції, які неможливо класифікувати за цими ознаками, їх називають ні парними, ні непарними.
Парні функції мають ряд цікавих властивостей:
- в результаті складання подібних функцій отримують парну;
- в результаті віднімання таких функцій отримують парну;
- функція, зворотна парній, також парна;
- в результаті множення двох таких функцій отримують парну;
- в результаті множення непарній і парній функцій отримують непарну;
- в результаті поділу непарній і парній функцій отримують непарну;
- похідна такий функції - непарна;
- якщо звести непарну функцію в квадрат, отримаємо парну.
Парність функції можна використовувати при вирішенні рівнянь.
Щоб вирішити рівняння типу g (x) = 0, де ліва частина рівняння являє собою парну функцію, буде цілком достатньо знайти її рішення для невід`ємних значний змінної. Отримані корені рівняння необхідно об`єднати з протилежними числами. Один з них підлягає перевірці.
Відео: Алгебра 9 клас. Парність і непарність функцій
Це ж властивість функції успішно застосовують для вирішення нестандартних завдань з параметром.
Наприклад, чи є якесь значення параметра a, при якому рівняння 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 = 1 буде мати три кореня?
Якщо врахувати, що змінна входить в рівняння в парних ступенях, то зрозуміло, що заміна х на - х задане рівняння не змінить. Звідси випливає, що якщо деяке число є його коренем, то їм же є й протилежне число. Висновок очевидний: коріння рівняння, відмінні від нуля, входять в безліч його рішень «парами».
Ясно, що саме число 0 коренем рівняння не є, тобто число коренів такого рівняння може бути тільки парних і, природно, ні при якому значенні параметра воно не може мати трьох коренів.
А ось число коренів рівняння 2 ^ x + 2 ^ (- x) = ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 може бути непарною, причому для будь-якого значення параметра. Дійсно, легко перевірити, що безліч коренів даного рівняння містить рішення «парами». Перевіримо, чи є 0 коренем. При підстановці його в рівняння, отримуємо 2 = 2. Таким чином, крім «парних» 0 також є коренем, що і доводить їх непарна кількість.
