Сутність і види середніх величин в статистиці і способи їх обчислення. Види середніх величин в статистиці коротко: приклади, таблиця

Починаючи вивчення такої науки, як статистика, слід розуміти, що вона містить (як і будь-яка наука) багато термінів, які необхідно знати і розуміти. Сьогодні ми розберемо таке поняття, як середня величина, і з`ясуємо, на які види вона ділиться, як їх обчислювати. Ну а перед тим як почати, поговоримо трохи про історію, і про те, як і навіщо виникла така наука, як статистика.

Історія

саме слово "статистика" веде своє походження з латинської мови. Це похідне від слова "статус", І означає "стан речей" або "ситуація". Це коротке визначення і відображає, по суті, весь сенс і призначення статистики. Вона збирає дані про стан речей і дозволяє аналізувати будь-які ситуації. Роботою зі статистичними даними займалися ще в Стародавньому Римі. Там проводився облік вільних громадян, їх володінь і власності. Взагалі спочатку статистика використовувалася для отримання даних про кількість населення і їх благах. Так, в Англії в 1061 році була проведена перша в світі перепис населення. Хани, що царювали на Русі в 13 столітті, теж проводили перепису, щоб брати данину з захоплених земель.

Кожен використовував статистику для своїх цілей, і в більшості випадків це приносило очікуваний результат. Коли люди усвідомили, що це не просто математика, а окрема наука, яку потрібно вивчати грунтовно, почали з`являтися перші вчені, зацікавлені в її розвитку. Люди, які вперше зацікавилися цією областю і почали активно її осягати, були прихильниками двох основних шкіл: англійської наукової школи політичних арифметиков і німецької описової школи. Перша виникла в середині 17-го століття і мала на меті представити суспільні явища, використовуючи числові показники. Вони прагнули виявити закономірності в суспільні явища на основі вивчення статистичних даних. Прихильники описової школи також описували соціально-суспільні процеси, але з використанням тільки слів. Вони не могли уявити динаміку подій, щоб краще зрозуміти її.

У першій половині 19 століття виникло ще одне, третій напрямок цієї науки: статистико-математичний. Величезний внесок у розвиток цього напрямку вніс відомий вчений, статистик з Бельгії Адольф Кетле. Саме він виділив види середніх величин в статистиці, і з його ініціативи почали проводитися міжнародні конгреси, присвячені цій науці. З початку 20 століття в статистиці почали застосовуватися більш складні математичні методи, наприклад, теорія ймовірностей.

Сьогодні статистична наука розвивається завдяки комп`ютеризації. За допомогою різних програм кожен може побудувати графік на основі запропонованих даних. В інтернеті також є маса ресурсів, що надають будь-які статистичні дані про населення і не тільки.

У наступному розділі ми розберемо, що означають такі поняття, як статистика, види середніх величин і ймовірності. Далі торкнемося питання про те, як і де ми можемо використовувати отримані знання.

Що таке статистика?

Це наука, основною метою якої є обробка інформації для вивчення закономірностей процесів, що відбуваються в суспільстві. Таким чином, можна сформулювати висновок про те, що статистика вивчає суспільство і ті явища, що протікають в ньому.

Розрізняють декілька дисциплін статистичної науки:

1) Загальна теорія статистики. Розробляє методи збору статистичних даних та є основою всіх інших областей.

2) Соціально-економічна статистика. Вона вивчає макроекономічні явища з точки зору попередньої дисципліни і кількісно характеризує суспільні процеси.

3) Математична статистика. Чи не все в цьому світі можна досліджувати. Щось доводиться передбачати. Математична статистика вивчає випадкові величини і закони розподілу ймовірності в статистиці.

4) Галузева і міжнародна статистка. Це вузькі області, які вивчають кількісну сторону явищ, що відбуваються в певних країнах або галузях життя суспільства.

А зараз ми розглянемо види середніх величин в статистиці, коротко розповімо про їх застосування в інших, не настільки тривіальних областях, як статистика.

Види середніх величин в статистиці

Ось ми і підійшли до найголовнішого, власне, до теми статті. Звичайно, для освоєння матеріалу і засвоєння таких понять, як сутність і види середніх величин в статистиці необхідні певні знання математики. Для початку згадаємо, що таке середнє арифметичне, гармонійне, геометричне і квадратичне.

Середнє арифметичне ми проходили ще в школі. Воно обчислюється дуже просто: ми беремо кілька чисел, середнє між якими необхідно знайти. Складаємо ці числа і ділимо суму на їх кількість. Математично це можна зобразити таким чином. У нас є ряд чисел, як приклад, найпростіший ряд: 1,2,3,4. Всього у нас 4 числа. Їх середнє арифметичне знаходимо таким чином: (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2,5. Все просто. Ми починаємо з цього, тому що так легше зрозуміти види середніх величин в статистиці.

Коротко розповімо також і про повну загальну середню геометричному. Візьмемо такий же ряд чисел, як і в попередньому прикладі. Але тепер, щоб обчислити середнє геометричне, нам потрібно витягти корінь ступеня, яка дорівнює кількості цих чисел, з їх твори. Таким чином, для попереднього прикладу отримаємо: (1 * 2 * 3 * 4)^1/4~ 2,21.

Повторимо поняття середнього гармонійного. Як можна згадати з шкільного курсу математики, щоб порахувати цей вид середнього, нам необхідно спочатку знайти числа, зворотні числам ряду. Тобто ми ділимо одиницю на це число. Так отримуємо зворотні числа. Ставлення їх кількості до суми і буде середнім гармонійним. Візьмемо для прикладу той же ряд: 1, 2, 3, 4. Зворотний ряд буде виглядати так: 1, 1/2, 1/3, 1/4. Тоді середнє гармонійне можна порахувати так: 4 / (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) ~ 1,92.

Всі ці види середніх величин в статистиці, приклади яких ми розглянули, є частиною групи під назвою статечні. Також існують структурні середні, які ми розберемо пізніше. Зараз зупинимося на першому виді.

Статечні середні величини

Ми вже розібрали арифметичне, геометричне і гармонійне. Є також більш складний вид, званий середнім квадратичним. Хоч його і не проходять в школі, обчислити його досить просто. Необхідно лише скласти квадрати чисел ряду, розділити суму на їх кількість, і витягти з усього цього квадратний корінь. Для нашого улюбленого ряду це буде виглядати так: ((1²+2²+3²+4²) / 4)^1/2= (30/4)^1/2 ~ 2,74.

Насправді це все тільки окремі випадки середнього статечного. У загальному вигляді це можна описати так: статечне n-ного порядку дорівнює кореню ступеня n з суми чисел в n-ного ступеня, поділеній на кількість цих чисел. Поки все не так складно, як здається.

Однак навіть статечне середнє є окремим випадком одного виду - середнього Колмогорова. По суті, всі способи, якими ми знаходили різні усереднені величини до цього, можна представити у вигляді однієї формули: y^-1* ((Y (x₁) + Y (x₂) + Y (x₃) + ... + Y (x_n)) / N). Тут всі змінні x - це числа ряду, а y (x) - деяка функція, по якій ми вважаємо середнє значення. У разі, скажімо, із середнім квадратичним, це функція y = x², а із середнім арифметичним y = x. Ось які сюрпризи нам іноді підносить статистика. Види середніх величин ми розібрали ще не до кінця. Крім середніх існують ще й структурні. Поговоримо про них.

Структурні середні величини статистики. Мода

Тут все трохи складніше. Щоб розібрати ці види середніх величин в статистиці і способи їх обчислення, потрібно грунтовно подумати. Існує дві основних структурних середніх: мода і медіана. Розберемося з першим.

Мода зустрічається найбільш часто. Вона застосовується найчастіше для визначення попиту на ту чи іншу річ. Щоб знайти її значення, потрібно спочатку знайти модальний інтервал. Що це таке? Модальний інтервал - область значень, де будь-якої показник має найбільшу частоту. Необхідна наочність, щоб краще уявити моду і види середніх величин в статистиці. Таблиця, яку ми розглянемо нижче, являє собою частину завдання, умова якої таке:

Визначте моду за даними робочих цеху про денний вироблення.

Відео: FRAIN

У нашому випадку модальний інтервал - це відрізок показника денного виробітку з найбільшою чисельністю осіб, тобто 40-44. Його нижня межа - 44.

Відео: Статистика з легкістю: Середня арифметична проста і зважена

А тепер обговоримо, як же обчислити цю саму моду. Формула не дуже складна і записати її можна так: M = x₁+ n * (f_M-f_M-1) / ((F_M-f_M-1) + (F_M-f_{M +1})). тут f_M - частота модального інтервалу, f_M-1 - частота інтервалу перед модальним (в нашому випадку це 36-40), f_{M + 1} - частота інтервалу після модального (для нас - 44-48), n - величина інтервалу (тобто різниця між нижньою і верхньою межею)? x₁ - значення нижньої межі (в прикладі це 40). Знаючи всі ці дані, ми можемо сміливо обчислити моду на кількість денного виробітку: M = 40 + 4 * (24-20) / ((24-20) + (24-19)) = 40 + 16/9 = 41, ( 7).

Структурні середні величини статистика. медіана

Розберемо ще такий вид структурних величин, як медіана. Детально на ньому ми не будемо зупинятися, розповімо лише про відмінності з попереднім типом. В геометрії медіана ділить кут навпіл. Не дарма в статистиці цей вид середньої величини так назвали. Якщо ранжувати ряд (наприклад, за чисельністю населення того чи іншого ваги в порядку зростання чисельності), то медіаною буде таке значення, яке ділить цей ряд на дві частини, рівні за чисельністю.

Відео: Part 1 - Triplanetary Audiobook by E. E. Smith (Chs 1-4)

Інші види середніх величин в статистиці

Структурні типи укупі зі статечними дають далеко не все, що потрібно для розрахунків в різних областях. Виділяють і інші типи цих даних. Таким чином, бувають середні зважені. Цей тип застосовується тоді, коли числа в ряді мають різний "речовинний вага". Це можна пояснити на простому прикладі. Візьмемо автомобіль. Він рухається з різною швидкістю в різні проміжки часу. При цьому один від одного відрізняються і значення цих часових відрізків, і значення швидкостей. Так ось, ці проміжки і будуть речовими вагами. Зваженими можна зробити будь-який вид статечних середніх.

У теплотехніки також застосовується ще один вид середніх величин - середнє логарифмічна. Воно виражається досить складною формулою, приводити яку ми не будемо.

Де це застосовується?

Статистика - наука, не прив`язана до якої-небудь однієї сфері. Хоч і створена вона була як частина соціально-економічної сфери, але сьогодні її методи і закони застосовуються у фізиці, хімії, і біології. Володіючи знаннями в цій області, ми може легко визначати тренди суспільства і вчасно запобігати загрозі. Часто ми чуємо фрази "загрозлива статистика", і це не пусті слова. Ця наука розповідає нам про нас самих, і при належному її вивченні здатна попередити про те, що може статися.

Як пов`язані види середніх величин в статистиці?

Співвідношення між ними не завжди існують, ось, наприклад, структурні види між собою не зв`язані ніякими формулами. Але зі статечними все набагато цікавіше. Наприклад, існує така властивість: середнє арифметичне двох чисел завжди більше або дорівнює їх середньому геометричному. Математично можна записати так: (a + b) / 2 gt; = (a * b)^1/2. Доводиться нерівність перенесенням правій частині вліво і подальшої угрупованням. У підсумку отримуємо різницю коренів, зведену в квадрат. А так як будь-яке число в квадраті позитивне, відповідно, нерівність стає вірним.

Крім цього є більш загальне співвідношення величин. З`ясовується, що середнє гармонійне завжди менше середнього геометричного, яке менше середнього арифметичного. А останнім виявляється, в свою чергу, менше середнього квадратичного. Можете самостійно перевірити правильність цих співвідношень хоча б на прикладі двох чисел - 10 і 6.

Що в цьому цікавого?

Цікаво те, що види середніх величин в статистиці, які, здавалося б, показують просто якийсь середній рівень, насправді можуть сказати знавцеві набагато більше. Коли ми дивимося новини, ніхто і не замислюється над сенсом цих цифр і тим, як взагалі їх знаходити.

Що можна ще почитати?

Для подальшого освоєння теми ми рекомендуємо прочитати (або прослухати) курс лекцій за статистикою і вищої математики. Адже в цій статті ми розповіли лише про крупинці того, що містить у собі ця наука, і сама по собі вона цікавіше, ніж здається на перший погляд.

Як ці знання мені допоможуть?

Можливо, вони і стануть в нагоді вам в житті. Але якщо вам цікава сутність суспільних явищ, їх механізм і вплив на ваше життя, то статистика допоможе вам глибше розібратися в цих питаннях. Взагалі, вона може описати практично будь-яку сторону нашого життя, якщо в її розпорядженні є відповідні дані. Ну а те, звідки і як видобувається інформація для аналізу - тема окремої статті.

висновок

Тепер ми знаємо, що бувають різні види середніх величин в статистиці: статечні і структурні. Розібралися в способах їх обчислення і в тому, де і як це можна застосувати.