Площа підстави призми: від трікутної до багатокутної

Різні троли несхожі один на одного. У тій же година у них много Спільного. Щоб найти площу основи призми, нужно розібратіся в тому, Який вигляд воно має.

Загальна теорія

Призму є будь-багатограннік, бічні Сторони которого ма ють вигляд паралелограма. При цьом в ее підставі может віявітіся будь-який багатограннік - від трикутника до n-кутника. Причем Підстави троли всегда дорівнюють один одному. Що НЕ відносіться до бічніх граней - смороду могут істотно відрізнятіся за розмірамі.

При вірішенні Завдання зустрічається НЕ только площа Підстави призми. Може знадобітіся знання бічній поверхні, тобто всех граней, Які НЕ є підставамі. Повної поверхні Вже буде об`єднання всех граней, Які складають призму.

Іноді в задачах фігурує висота. Вона є перпендикуляром до підстав. Діагоналлю багатогранніка є відрізок, Який з`єднує попарно две будь-які вершини, Які має належати одній Грані.

Слід Зазначити, что площа Підстави прямої призми або похілій НЕ Залежить від кута между ними и бічнімі гранями. Если у них однакові фігурі у Верхній и Нижній гранях, то їх площади будут рівнімі.

трикутна призма

Вона має в Основі фігуру, что має три вершини, тобто трикутник. ВІН, як відомо, буває різнім. если трикутник прямокутний, то й достатньо згадаті, что его площа візначається половиною твори катетів.

Відео: Знаходження площади перетин трікутної троли

Математична Запис Виглядає так: S = ½- ав.

Щоб дізнатіся площа Підстави трікутної троли в загально виде, знадобляться формули: Герона и та, в Якій береться половина боку на висоті, проведеної до неї.

Перша формула винна буті записана так: S = &radic- (р (р-а) (р-в) (р-с)). У цьом запісі присутній напівперіметр (р), тобто сума трьох сторон, розділена на два.

Друга: S = ½- н_а * А.

Если нужно дізнатіся площа Підстави трікутної троли, яка є правильною, то трикутник віявляється рівностороннім. Для него існує своя формула: S = ¼- а² * &radic-3.

Відео: Стереометрія. ЄДІ. Площа бічної поверхні правильної шестікутної троли

чотірікутна призма

Ее підставою є будь-який з відоміх чотірікутніків. Це может буті прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчісліті площу основи призми, потребуется своя формула.

Если Підстава - прямокутник, то его площа візначається так: S = ав, де а, в - сторони прямокутник.

Коли мова идет про чотірікутної прізмі, то площа Підстави правильної призми обчіслюється за формулою для квадрата. Тому що самє ВІН віявляється лежачим в Основі. S = а².

У разі коли Підстава - це паралелепіпед, буде нужно така Рівність: S = а * н_а. Буває таке, что дано сторона паралелепіпеда и один з кутів. Тоді для обчислення висоти буде нужно скористати Додатковий формулою: н_а = В * sin А. Причем кут А прілягає до бік «в», а висота н_а протилежних до цього кутку.

Если в Основі троли лежить ромб, то для визначення его площади потребуется та ж формула, что для паралелограма (так як ВІН є его окремим випадки). Альо можна скористати и такою: S = ½- d₁ d₂. тут d₁ и d₂ - две діагоналі ромба.

Чи правильна п`ятікутна призма

Цей випадок предполагает розбіття багатокутніка на трикутники, площади якіх дізнатіся простіше. Хоча буває, что фігурі могут буті з іншою кількістю вершин.

Оскількі Підстава призми - правильний п`ятікутнік, то ВІН может буті розділеній на п`ять рівносторонніх трікутніків. Тоді площа Підстави призми дорівнює площади одного такого трикутника (формулу можна подивитись вищє), помноженої на п`ять.

Чи правильна шестікутна призма

За принципом, опис для п`ятікутної троли, вдається Розбита шестікутнік Підстави на 6 рівносторонніх трікутніків. Формула площади Підстави такой троли подібна попередньої. Тільки в ній площа рівностороннього трикутника слід множіті на Шість.

Віглядаті формула буде таким чином: S = 3/2 а² * &radic-3.

завдання

№ 1. Дана правильна пряма чотірікутна призма. Ее діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранніка - 14 см. Обчісліті площу основи призми и всієї поверхні.

Рішення. Підставою призми є квадрат, но его сторона не відома. Найти ее значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов`язана з діагоналлю призми (d) i ее висота (н). х² = d² - н². З Іншого боку, цею відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катетів которого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х² = а² + а². Таким чином Вихід, что а² = (D² - н²) / 2.

Підставіті вместо d число 22, а «н» замініті его значень - 14, то виходом, что сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатіся площа Підстави: 12 * 12 = 144 см².

Щоб дізнатіся площа всієї поверхні, нужно Скласти подвоєне значення площади Підстави и учетверенное бічну. Останню легко найти за формулою для прямокутник: перемножіті висота багатогранніка и сторону Підстави. Тобто 14 и 12, це число буде дорівнює 168 см². Загальна площа поверхні призми віявляється 960 см².

Відповідь. Площа Підстави призми дорівнює 144 см². ВСІЙ поверхні - 960 см².

№ 2. Дана правильна трикутна призма. В Основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьом діагональ бічної Грані складає 10 см. Обчісліті площади: Підстави и бічної поверхні.

Рішення. Так як призма правильна, то ее підставою є рівносторонній трикутник. Тому его площа віявляється дорівнює 6 в квадраті, помножені на ¼- и на корінь квадратний з 3. Просто обчислення приводити до результату: 9&radic-3 см². Це площа одного Підстави призми.

Всі бічні Грані однакові и являються собою прямокутник зі сторонами 6 и 10 см. Щоб обчісліті їх площади, й достатньо перемножіті ЦІ числа. Потім помножіті їх на три, бо бічніх граней у троли самє Стільки. Тоді площа бічної поверхні віявляється раною 180 см².

Відповідь. Площі: Підстави - 9&radic-3 см², бічної поверхні призми - 180 см².