Коло ейлера. Кіл ейлера - приклади в логіці

Леонард Ейлер (1707-1783) - відомий швейцарський і російський математик, член Петербурзької академії наук, більшу частину життя прожив в Росії. Найбільш відомим в математичному аналізі, статистикою, інформатики і логіки вважається коло Ейлера (діаграма Ейлера-Венна), який використовується для позначення обсягу понять і множин елементів.

Джон Венна (1834-1923) - англійський філософ і логік, співавтор діаграми Ейлера-Венна.

Сумісні і несумісні поняття

Під поняттям в логіці розуміється форма мислення, яка відображає істотні ознаки класу однорідних предметів. Вони позначаються одним або групою слів: «карта світу», «домінантовий квінтсептаккорд», «понеділок» і ін.

У разі коли елементи обсягу одного поняття повністю або частково належать обсягу іншого, говорять про сумісні поняття. Якщо ж жоден елемент обсягу певного поняття не належить до обсягу іншого, ми маємо місце з несумісними поняттями.

У свою чергу, кожен з видів понять має власний набір можливих відносин. Для сумісних понять це такі:

• тотожність (рівнозначність) обсягів;
• перетин (частковий збіг) обсягів;
• підпорядкування (субординація).

Для несумісних:

• супідрядність (координація);
• протилежність (контрарность);
• протиріччя (контрадікторності).

Схематично відносини між поняттями в логіці прийнято позначати за допомогою кіл Ейлера-Венна.

відносини рівнозначності

В даному випадку поняття мають на увазі один і той же предмет. Відповідно, обсяги даних понять повністю збігаються. наприклад:

А - Зигмунд Фрейд;

В - основоположник психоаналізу.

або:

А - квадрат;

В - рівносторонній прямокутник;

Відео: Діаграми Ейлера. Рішення завдань №17

З - рівнокутний ромб.

Для позначення використовуються повністю збігаються кола Ейлера.

Перетин (частковий збіг)

До цієї категорії входять поняття, які мають спільні елементи, що знаходяться в відношенні перехрещення. Тобто обсяг одного з понять частково входить в обсяг іншого:

А - педагог;

В - меломан.

Як видно з цього прикладу, обсяги понять частково збігаються: певна група педагогів може виявитися меломанами, і навпаки - серед меломанів можуть бути представники педагогічної професії. Аналогічне ставлення буде в разі, коли в як поняття А виступає, наприклад, «городянин», а в якості В - «автоводії».

Підпорядкування (субординація)

Схематично позначаються як різні за масштабом кола Ейлера. Відносини між поняттями в даному випадку характеризуються тим, що підпорядковане поняття (менше за обсягом) повністю входить до складу підпорядковує (більшого за обсягом). При цьому підлегле поняття не вичерпує повністю підкоряє.

наприклад:

А - дерево;

В - сосна.

Поняття В буде підлеглим по відношенню до поняття А. Так як сосна відноситься до дерев, то поняття А стає в даному прикладі підкоряють, «поглинає» обсяг поняття В.

Супідрядність (координація)

Ставлення характеризує два і більше поняття, що виключають одне одного, але належать при цьому певного загальному пологовому колі. наприклад:

А - кларнет;

В - гітара;

З - скрипка;

D - музичний інструмент.

Поняття А, В, С не є пересічними по відношенню один до одного, тим не менше, всі вони відносяться до категорії музичних інструментів (поняття D).

Протилежність (контрарность)

Протилежні відносини між поняттями мають на увазі віднесення даних понять до одного і того ж роду. При цьому одне з понять має певні властивості (ознаками), в той час як інше їх заперечує, заміщаючи протилежними за характером. Таким чином, ми маємо справу з антонімами. наприклад:

А - карлик;

В - велетень.

Коло Ейлера при протилежних відносинах між поняттями розділяється на три сегменти, перший з яких відповідає поняттю А, другий - поняттю В, а третій - всім іншим можливим поняттям.

Відео: Логіка Лекція 2 Види понять кола Ейлера

Протиріччя (контрадікторності)

В даному випадку обидва поняття є види одного і того ж роду. Як і в попередньому прикладі, одне з понять вказує на певні якості (ознаки), в той час як інше їх заперечує. Однак, на відміну від ставлення протилежності, друге, протилежне поняття, не замінює заперечуються властивості іншими, альтернативними. наприклад:

А - складне завдання;

В - нескладне завдання (не-а).

Висловлюючи обсяг понять подібного роду, коло Ейлера розділяється на дві частини - третього, проміжної ланки в даному випадку не існує. Таким чином, поняття також є антонімами. При цьому одне з них (А) стає позитивним (що стверджують будь-якої ознака), а друге (В або не- А) - негативним (заперечує відповідний ознака): «білий папір» - «не біла папір», «вітчизняна історія» - «зарубіжна історія» і т. д.

Таким чином, співвідношення обсягів понять по відношенню один до одного є ключовою характеристикою, що визначає кола Ейлера.

Відносини між множинами

Також слід розрізняти поняття елементів і безлічі, обсяг яких відображають кола Ейлера. Поняття множини запозичене з математичної науки і має досить широке значення. Приклади в логіці і математиці відображають його як певну сукупність об`єктів. Самі ж об`єкти є елементами даної множини. «Безліч є багато, мислиме як єдине» (Георг Кантор, засновник теорії множин).

Позначення множин здійснюється великими літерами: А, В, С, D… і т. д., елементів множин - малими: а, b, с, d…і ін. Прикладами безлічі можуть бути студенти, що знаходяться в одній аудиторії, книги, які стоять на певній полиці (або, наприклад, всі книги в будь-якої певної бібліотеці), сторінки в щоденнику, ягоди на лісовій галявині і т. д.

У свою чергу, якщо певне безліч зовсім позбавлений жодного елемента, то його називають порожнім і позначають знаком . Наприклад, безліч точок перетину паралельних прямих, безліч рішень рівняння х² = -5.

Вирішення задач

Для вирішення великої кількості завдань активно використовуються кола Ейлера. Приклади в логіці наочно демонструють зв`язок логічних операцій з теорією множин. При цьому використовуються таблиці істинності понять. Наприклад, коло, позначений ім`ям А, являє собою область істинності. Таким чином, область поза колом представлятиме брехня. Щоб визначити область діаграми для логічної операції, слід заштрихувати області, що визначають коло Ейлера, в яких її значення для елементів А і В будуть істинними.

Використання кіл Ейлера знайшло широке практичне застосування в різних галузях. Наприклад, в ситуації з професійним вибором. Якщо суб`єкт стурбований вибором майбутньої професії, він може керуватися наступними критеріями:

W - що я люблю робити?

Відео: IQsha.ru - Кола Ейлера. Як вирішувати завдання на логіку?

D - що у мене виходить?

P - чим я зможу добре заробляти?

Зобразимо це в вигляді схеми: кола Ейлера (приклади в логіці - відношення перетину):

Результатом стануть ті професії, які опиняться на перетині всіх трьох кіл.

Окреме місце кола Ейлера-Венна займають в математиці (теорія множин) при обчисленні комбінацій і властивостей. Кола Ейлера безлічі елементів укладені в зображенні прямокутника, що позначає універсальне безліч (U). Замість кіл також можуть використовуватися інші замкнуті фігури, але суть від цього не змінюється. Фігури перетинаються між собою, відповідно до умов завдання (в найбільш загальному випадку). Також дані фігури повинні бути позначені відповідним чином. Як елементи розглянутих множин можуть виступати точки, розташовані всередині різних сегментів діаграми. На її основі можна заштрихувати конкретні області, позначивши тим самим новоутворені безлічі.

З даними множинами допустимо виконання основних математичних операцій: додавання (сума множин елементів), віднімання (різниця), множення (твір). Крім того, завдяки діаграм Ейлера-Венна можна проводити операції порівняння множин за кількістю входять до них елементів, крім них.