Парадокс рассела: основні положення, приклади, формулювання

Парадокс Рассела представляє дві взаємозалежні логічні антиномії.

Дві форми парадоксу Рассела

Найбільш часто обговорюваної формою є протиріччя в логіці множин. Одні безлічі, здається, можуть бути членами самих себе, а інші - ні. Безліч всіх множин саме є безліччю, тому здається, що воно відноситься до самого себе. Нульове або пусте, однак, не повинно бути членом самого себе. Тому безліч всіх множин, як і нульове, не входить саме в себе. Парадокс виникає при питанні про те, чи є безліч членом самого себе. Це можливо тоді і тільки тоді, коли це не так.

Інша форма парадоксу є протиріччя, що стосується властивостей. Деякі властивості, здається, відносяться до себе, в той час як інші ні. Властивість бути властивістю саме по собі є властивістю, в той час як властивість бути кішкою нею не є. Розглянемо властивість мати властивість, яке не відноситься до себе. Стосується воно до самого себе? Знову ж таки, з будь-якого припущення випливає протилежне. Парадокс був названий на честь Бертрана Рассела (1872-1970), який відкрив його в 1901 році.

Історія

Відкриття Рассела відбулося під час його роботи над «Принципами математики». Хоча він виявив парадокс самостійно, є докази того, що інші математики і розробники теорії множин, включаючи Ернста Цермело і Давида Гільберта, знали про першу версію протиріччя раніше нього. Рассел, проте, був першим, хто детально обговорив парадокс в своїх опублікованих роботах, першим спробував сформулювати рішення і першим в повній мірі оцінив його значимість. Цілий розділ «Принципів» була присвячена обговоренню цього питання, а додаток було присвячено теорії типів, яку Рассел запропонував як рішення.

Рассел виявив «парадокс брехуна», розглядаючи теорему множин Кантора, яка говорить про те, що потужність будь-якого безлічі менше, ніж безлічі його підмножин. По крайней мере, в домені стільки ж підмножин, скільки в ньому є елементів, якщо для кожного елемента одне підмножина буде безліччю, що містить тільки цей елемент. Крім того, Кантор довів, що число елементів не може бути рівним числу підмножин. Якби їх була однакова кількість, то повинна була б існувати функція , яка б відображала елементи на їх підмножини. У той же час можна довести, що це неможливо. Деякі елементи можуть відображатися функцією на підмножини, які містять їх, тоді як інші не можуть.

Розглянемо підмножину елементів, які не належать своїм образам, в які їх відображає . Воно саме по собі є підмножиною елементів, і, отже, функція повинна була б відобразити його на певний елемент в домені. Проблема полягає в тому, що тоді виникає питання про те, чи належить цей елемент підмножині, на яке його відображає . Це можливо тільки в тому випадку, якщо він не належить. Парадокс Рассела можна розглядати як приклад такої ж лінії міркувань, тільки спрощений. Чого більше - множин або підмножин множин? Здавалося б, що має бути більше множин, так як всі підмножини множин самі є множинами. Але якщо теорема Кантора вірна, то має існувати більше підмножин. Рассел розглядав найпростіше відображення множин на самих себе і застосував канторіанскій підхід розгляду безлічі всіх цих елементів, що не входять у безлічі, в які вони відображаються. Відображення Рассела стає безліччю всіх множин, в себе не входять.

Помилка Фреге

«Парадокс брехуна» мав глибокі наслідки для історичного розвитку теорії множин. Він показав, що поняття універсальної множини є вкрай проблематичним. Він також поставив під сумнів поняття про те, що для кожного визначається умови або предиката можна припустити існування безлічі тільки тих речей, які задовольняють цій умові. Варіант парадоксу, що стосується властивостей - природне продовження версії з множинами - викликав серйозні сумніви з приводу того, чи можна стверджувати про об`єктивне існування властивості або універсального відповідності кожному визначається умовою або предикату.

Незабаром було знайдено протиріччя і проблеми в роботах тих логіків, філософів і математиків, які робили подібні припущення. У 1902 році Рассел виявив, що варіант парадоксу можна виразити в логічній системі, розробленої в I томі Готтлоба Фреге «Підстави арифметики», однією з головних робіт за логікою кінця XIX - початку XX століття. У філософії Фреге безліч розуміється як «розширення» або «значення-діапазон» поняття. Поняття є найближчими коррелятами до властивостей. Передбачається, що вони існують для кожного заданого стану або предиката. Таким чином, існує поняття безлічі, яке не підпадає під його визначальне поняття. Існує також клас, який визначається цим поняттям, і він підпадає під визначає його поняття тільки в разі, якщо це не так.

Рассел написав Фреге про цю суперечність в червні 1902 р Переписка стала однією з найцікавіших і обговорюваних в історії логіки. Фреге негайно визнав катастрофічні наслідки парадоксу. Він зазначив, однак, що версія протиріччя, що стосується властивостей, в його філософії була вирішена шляхом розрізнення рівнів понять.

Фреге поняття розумів як функції переходу від аргументів до значень істинності. Поняття першого рівня приймають в якості аргументів об`єкти, поняття другого рівня приймають в якості аргументів ці функції і так далі. Таким чином, поняття ніколи не може взяти себе в якості аргументу, а парадокс щодо властивостей не може бути сформульований. Проте безлічі, розширення або поняття розумілися Фреге як відносяться до того ж логічного типу, що і всі інші об`єкти. Тоді для кожного безлічі виникає питання, чи підпадає воно під визначає його поняття.

Коли Фреге отримав перший лист Рассела, другий том «Підстав арифметики» вже закінчував друкуватися. Він був змушений швидко підготувати додаток, що дає відповідь на парадокс Рассела. Приклади Фреге містили ряд можливих рішень. Але він прийшов до висновку, послабити поняття абстракції безлічі в логічній системі.

В оригіналі можна було прийти до висновку, що об`єкт належить множині тоді і тільки тоді, коли він підпадає під поняття, його визначає. У переглянутої системі можна лише зробити висновок, що об`єкт належить множині тоді і тільки тоді, коли він підпадає під поняття визначає безлічі, а не безлічі, про який йде мова. Парадокс Рассела не виникає.

Рішення, однак, не зовсім задовольнило Фреге. І цьому була причина. Кілька років по тому для переглянутої системи була знайдена більш складна форма протиріччя. Але ще до того, як це сталося, Фреге відмовився від свого рішення і, здається, прийшов до висновку, що його підхід був просто непрацездатний, і що логіка доведеться обійтися взагалі без множин.

Проте були запропоновані інші, відносно більш успішні альтернативні рішення. Вони обговорюються нижче.

теорія типів

Вище було відзначено, що у Фреге була адекватна відповідь на парадокси теорії множин у варіанті, сформульованому для властивостей. Відповідь Фреге передував найбільш часто обговорюваного вирішення цієї форми парадоксу. Воно засноване на тому, що властивості підпадають під різні типи і що тип властивості ніколи не буває таким же, як елементи, до яких він належить.

Таким чином, навіть не виникає питання, чи можна застосувати властивість до самого себе. Логічна мова, який розділяє елементи за такою ієрархії, використовує теорію типів. Хоча вона вже використовується у Фреге, вперше її повністю роз`яснив і обгрунтував Рассел в Додатку до «Принципів». Теорія типів була повнішою, ніж розрізнення рівнів Фреге. Вона розділяла властивості не тільки на різні логічні типи, але також і безлічі. Теорія типів дозволила протиріччя в парадоксі Рассела наступним чином.

Для того щоб бути філософськи адекватним, прийняття теорії типів для властивостей вимагає розробки теорії про характер властивостей таким чином, щоб можна було пояснити, чому вони не можуть застосовуватися самі до себе. На перший погляд має сенс предіціровать своє власне властивість. Властивість бути самототожності, здавалося б, також є самототожності. Властивість бути приємним здається приємним. Точно так же, мабуть, здається помилковим говорити про те, що властивість бути кішкою є кішкою.

Проте різні мислителі обґрунтовували розподіл типів по-різному. Рассел навіть давав різні пояснення в різний час своєї кар`єри. Зі свого боку, обґрунтування поділу Фреге різних рівнів понять виходить з його теорії ненасиченості понять. Поняття, як функції, по суті, є неповними. Щоб надати значення, їм потрібен аргумент. Не можна просто предіціровать одне поняття поняттям того ж типу, оскільки воно все ще вимагає свого аргументу. Наприклад, хоча ще можливо витягти квадратний корінь з квадратного кореня деякого числа, неможливо просто застосовувати функцію квадратного кореня до функції квадратного кореня і отримати результат.

Про консерватизмі властивостей

Іншим можливим рішенням парадоксу властивостей є заперечення існування властивості відповідно до якими заданими умовами або добре сформованим предикатом. Звичайно, якщо хтось цурається метафізичних властивостей як об`єктивних і незалежних елементів в цілому, то, якщо прийняти номіналізм, парадоксу можна повністю уникнути.

Однак для вирішення антиномії не потрібно бути настільки екстремальним. Логічні системи вищого порядку, розроблені Фреге і Расселом, містили, що називається, понятійний принцип, згідно з яким для кожної відкритої формули, незалежно від того, наскільки вона складна, існує як елемент властивість або поняття на прикладі тільки тих речей, які задовольняють формулою. Вони застосовувалися до атрибутів будь-якого можливого набору умов або предикатів, незалежно від того, наскільки вони були складними.

Проте можна було б прийняти більш сувору метафізику властивостей, надаючи право об`єктивного існування простим властивостями, включаючи, наприклад, такі як червоний колір, твердість, доброта і т. Д. Можна навіть дозволити цим властивостям застосовуватися до самих себе, наприклад, доброта може бути доброю.

А той же статус для складних атрибутів можна заперечувати, наприклад, для таких «властивостей», як мати-сімнадцять-голів, бути-написаним-під-водою і т. Д. У цьому випадку ніяке заданий умова не відповідає властивості, що розуміється як окремо існуючий елемент, який має свої власні властивості. Таким чином можна заперечувати існування простого властивості бути-властивістю-яке-ні-застосовно-к-собі і уникнути парадоксу шляхом застосування більш консервативної метафізики властивостей.

Парадокс Рассела: рішення

Вище було відзначено, що в кінці свого життя Фреге повністю відмовився від логіки множин. Це, звичайно, одне рішення антиномії в формі множин: просте заперечення існування таких елементів в цілому. Крім цього, є й інші популярні рішення, основні відомості про яких представлені нижче.

Теорія типів для множин

Як згадувалося раніше, Рассел виступав за більш повну теорію типів, яка б розділяла не тільки властивості або поняття на різні типи, але також і безлічі. Рассел ділив безлічі на безлічі окремих об`єктів, безлічі множин окремих об`єктів і т. Д. Сила-силенна не зважали об`єктами, а безлічі множин - множинами. Безліч ніколи не володіло типом, що дозволяє мати в якості члена самого себе. Тому немає безлічі всіх множин, які не є власними членами, тому що для будь-якого безлічі питання про те, чи є воно своїм членом, сам по собі є порушенням типу. Знову ж таки, проблема тут полягає в роз`ясненні метафізики множин для того, щоб пояснити філософські підстави поділу на типи.

стратифікація

У 1937 році В. В. Куайн запропонував альтернативне рішення, в деякому роді схоже на теорію типів. Основні відомості про нього такі.

Поділ елементом, множин та ін. Проводиться таким чином, що припущення про знаходження безлічі в собі завжди є неправильним або безглуздим. Безлічі можуть існувати тільки за умови, коли визначають їх умови не є порушенням типів. Таким чином, для Куайна вираз «х не є членом х» є значущим твердженням, що не припускає існування безлічі всіх елементів х, що задовольняють цій умові.

У даній системі безліч існує для деякої відкритої формули А тоді і тільки тоді, коли вона стратифікована, т. Е. Якщо змінним присвоєно натуральні числа таким чином, що для кожної ознаки входження в безліч попередньої йому змінної присвоюється призначення на одиницю менше, ніж змінної, наступного після нього. Це блокує парадокс Рассела, оскільки у формулі, що використовується для визначення проблемного безлічі, є одна і та ж змінна до і після знаку членства, що робить його нестратіфіцірованние.

Проте ще належить визначити, чи є результуюча система, яку Куайн називав «Нові підстави математичної логіки», несуперечливої.

відсортування

Зовсім інший підхід прийнятий в теорії множин Цермело - Френкеля (ЦФ). Тут теж встановлюється обмеження на існування множин. Замість підходу «згори вниз» Рассела і Фреге, які спочатку вважали, що для будь-якого поняття, властивості або умови можна припустити існування безлічі всіх речей з такою властивістю або задовольняє такій умові, в ЦФ-теорії все починається «знизу вгору».

Окремі елементи і порожня множина утворюють безліч. Тому, на відміну від ранніх систем Рассела і Фреге, ЦФ не відноситься до універсального безлічі, яке включає всі елементи і навіть все безлічі. ЦФ встановлює жорсткі обмеження на існування множин. Можуть існувати тільки ті з них, для яких це явно постулировано або які можуть бути складені за допомогою ітераційних процесів і т. Д.

Потім, замість поняття абстракції наївного тим натовпом, що свідчить про те, що елемент включений в певну множину тоді і тільки тоді, коли він відповідає що визначає умови, в ЦФ використовується принцип поділу, виділення або «відсортовування». Замість припущення про існування безлічі всіх елементів, які без винятків задовольняють деякому умові, для кожного вже існуючого безлічі, відсортовує говорить про існування підмножини всіх елементів в оригінальному безлічі, яке задовольняє умові.

Потім вступає принцип абстракції: якщо множина A існує, то для всіх елементів х в А, х належить підмножині А, яке задовольняє умові С тоді і тільки тоді, коли х задовольняє умові С. Такий підхід вирішує парадокс Рассела, оскільки ми не можемо просто припускати , що є безліч всіх множин, які не є членами самих себе.

Маючи безліч множин, можна виділити або поділити його на безлічі, які знаходяться в собі, і на ті, які такими не є, але так як не існує універсальної множини, ми не пов`язані безліччю всіх множин. Без допущення проблемного безлічі Рассела протиріччя не може бути доведено.

інші рішення

Крім того, мали місце наступні розширення або модифікації всіх цих рішень, такі як розгалуження теорії типів «Принципів математики», розширення системи «Математичної логіки» Куайна, а також більш пізні розробки в теорії множин, зроблені Бернайсом, Геделем і фон Нейманом. Питання про те, чи знайдений відповідь на нерозв`язне парадокс Бертрана Рассела, як і раніше є предметом дискусій.