Як виводиться похідна косинуса
Похідна косинуса знаходиться за аналогією з похідною синуса, основа докази - визначення границі функції. Можна скористатися іншим способом, використовуючи тригонометричні формули приведення для косинуса і синуса кутів. Висловити одну функцію через іншу - косинус через синус, і продифференцировать синус зі складним аргументом.
Відео: Формули синуса і косинуса суми. Висновок формул.
Розглянемо перший приклад виведення формули (Cos (х)) `
Даємо мізерно малий приріст &Delta-х аргументу х функції у = Cos (х). При новому значенні аргументу х +&Delta-х отримуємо нове значення функції Cos (х +&Delta-х). Тоді приріст функції &Delta-у дорівнюватиме Cos (х +&Delta-x) -Cos (x).
Ситуація щодо ставлення приросту функції до &Delta-х буде таким: (Cos (х +&Delta-x) -Cos (x)) /&Delta-х. Проведемо тотожні перетворення в чисельнику вийшла дробу. Згадаймо формулу різниці косинусів кутів, результатом буде твір -2Sin (&Delta-х / 2) помножити на Sin (х +&Delta-х / 2). Знаходимо межа приватного lim цього твору на &Delta-х при &Delta-х, що прямує до нуля. Відомо, що перший (його називають чудовим) межа lim (Sin (&Delta-х / 2) / (&Delta-х / 2)) дорівнює 1, а межа -Sin (х +&Delta-х / 2) дорівнює -Sin (x) при &Delta-x, яка прагне до нуля.
Запишемо результат: похідна (Cos (х)) `дорівнює - Sin (х).
Деяким більше подобається другий спосіб виведення тієї ж формули
Відео: Похідна суми двох функцій. висновок формули
З курсу тригонометрії відомо: Cos (х) дорівнює Sin (0,5·-&prod - х), аналогічно Sin (х) дорівнює Cos (0,5·-&prod - x). Тоді диференціюючи складну функцію - синус додаткового кута (замість косинуса ікс).
Отримаємо твір Cos (0,5·-&prod - х)·- (0,5·-&prod - х) `, тому що похідна синуса х дорівнює косинусу х. Звертаємося до другої формулою Sin (х) = Cos (0,5·-&prod - x) заміни косинуса на синус, враховуємо, що (0,5·-&prod - х) `= -1. Тепер отримуємо -Sin (x).
Отже, знайдена похідна косинуса, у `= -Sin (х) для функції у = Cos (х).
Похідна косинуса в квадраті
Часто використовуваний приклад, де вживається похідна косинуса. Функція y = Cos2(X) складна. Знаходимо спочатку диференціал статечної функції з показником 2, це буде 2·-Cos (x), потім множимо його на похідну (Cos (x)) `, яка дорівнює -Sin (х). Отримуємо y `= -2·-Cos (х)·-Sin (x). Коли можна застосувати формулу Sin (2·-х), синуса подвійного кута, отримаємо остаточний спрощений
відповідь y `= -Sin (2·-х)
Відео: Лекція 30. Поняття похідної.
гіперболічні функції
Застосовуються при вивченні багатьох технічних дисциплін: в математиці, наприклад, полегшують обчислення інтегралів, рішення диференціальних рівнянь. Висловлюються вони через тригонометричні функції з уявним аргументом, так, гіперболічний косинус ch (х) = Cos (i·-х), де i - уявна одиниця, гіперболічний синус sh (x) = Sin (i·-x). 
Похідна гіперболічного косинуса обчислюється досить просто.
Розглянемо функцію у = (ex+e-x) / 2, це і є гіперболічний косинус ch (х). Використовуємо правило знаходження похідної суми двох виразів, правило виносу постійного множника (Const) за знак похідної. Другий доданок 0,5·-е-х - Складна функція (її похідна дорівнює -0,5·-е-х), 0,5·-ех- Перший доданок. (Ch (х)) `= ((eх+e-x) / 2) `можна записати інакше: (0,5·-eх+0,5·-е-х) `= 0,5·-eх-0,5·-e-х, тому що похідна (e-x) `Дорівнює -1, умнноженная на e-x. Вийшла різниця, а це є гіперболічний синус sh (x).
Висновок: (ch (х)) `= sh (x).
Рассмітрім на прикладі, як обчислити похідну функції у = ch (x3+1).
за правилом диференціювання гіперболічного косинуса зі складним аргументом у `= sh (x3+1)·- (x3+1) `, де (x3+1) `= 3·-x2+0.
Відповідь: похідна даної функції дорівнює 3·-х2·-sh (х3+1).
Похідні розглянутих функцій у = ch (х) і y = Cos (х) табличні
При вирішенні прикладів немає необхідності кожного разу диференціювати їх за запропонованою схемою, досить використовувати висновок.
Приклад. Продифференцировать функцію у = Cos (x) + Cos2(-x) -Ch (5·-х).
Легко обчислити (скористаємося табличними даними), у `= -Sin (x) + Sin (2·-х) -5·-Sh (5·-х).
