Історія теореми пифагора. Доказ теореми

Відео: Теорема Піфагора Доказ. Доказ теореми Піфагора використовуючи аналіз розмірностей.

Історія теореми Піфагора налічує кілька тисячоліть. Твердження, що свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, було відомо ще задовго до народження грецького математика. Однак теорема Піфагора, історія створення та докази її зв`язуються для більшості саме з цим вченим. Згідно з деякими джерелами, причиною тому послужило перший доказ теореми, яке було приведено Пифагором. Однак частина дослідників спростовує цей факт.

Музика і логіка

Перш ніж розповісти, як складалася історія теореми Піфагора, коротко зупинимося на біографії математика. Жив він у VI столітті до нашої ери. Датою народження Піфагора вважається 570 рік до н. е., місцем - острів Самос. Про життя вченого достовірно відомо небагато. Біографічні дані в давньогрецьких джерелах переплітаються з явним вигадкою. На сторінках трактатів він постає великим мудрецем, чудово володіє словом і умінням переконувати. До речі, саме тому грецького математика і прозвали Пифагором, тобто «переконливим промовою». За іншою версією, народження майбутнього мудреця передбачила Піфія. Батько в її честь назвав хлопчика Пифагором.

Мудрець навчався у великих умів того часу. Серед викладачів молодого Піфагора значаться Гермодамант і Ферекид Сіросского. Перший прищепив йому любов до музики, другий навчив філософії. Обидві ці науки залишаться в центрі уваги вченого протягом усього його життя.

Навчання довжиною в 30 років

За однією з версій, будучи допитливим юнаком, Піфагор покинув батьківщину. Він відправився шукати знань в Єгипет, де пробув, згідно з різними джерелами, від 11 до 22 років, а потім потрапив в полон і був відправлений до Вавилону. Піфагор зміг отримати користь зі свого становища. Протягом 12 років він вивчав математику, геометрію і магію в стародавній державі. На Самос Піфагор повернувся тільки в 56 років. Тут в той час правил тиран Полікрат. Піфагор не зміг прийняти таку політичну систему і незабаром відправився на південь Італії, де розташовувалася грецька колонія Кротон.

Сьогодні не можна точно стверджувати, чи був Піфагор в Єгипті і Вавилоні. Можливо, він покинув Самос пізніше і відправився відразу в Кротон.

піфагорійці

Історія теореми Піфагора пов`язана з розвитком створеної грецьким філософом школи. Це релігійно-етичне братство проповідував дотримання особливого способу життя, вивчало арифметику, геометрію і астрономію, займалося дослідженням філософської та містичної сторони чисел.

Всі відкриття учнів грецького математика приписувалися йому. Однак історія виникнення теореми Піфагора зв`язується древніми біографами тільки з самим філософом. Передбачається, що він передав грекам знання, отримані в Вавилоні і Єгипті. Є також версія, що він дійсно відкрив теорему про співвідношення катетів і гіпотенузи, не знаючи про досягнення інших народів.

Теорема Піфагора: історія відкриття

У деяких давньогрецьких джерелах описується радість Піфагора, коли йому вдалося довести теорему. На честь такої події він наказав принести жертву богам у вигляді сотні биків і влаштував бенкет. Деякі вчені, однак, вказують на неможливість такого вчинку через особливості поглядів піфагорійців.

Відео: Доказ теореми Піфагора

Вважається, що в трактаті «Начала», створеному Евклидом, автор наводить доказ теореми, автором якого і був великий грецький математик. Однак подібну точку зору підтримували не всі. Так, ще античний філософ-неплатників Прокл вказував, що автором наведеного в «Засадах» докази є сам Евклід.

Як би там не було, але першим, хто сформулював теорему, все-таки не була Піфагор.

Древній Єгипет і Вавилон

Теорема Піфагора, історія створення якої розглядається в статті, згідно з німецьким математику Кантору, була відома ще в 2300 році до н. е. в Єгипті. Стародавні жителі долини Нілу за часів правління фараона Аменемхета I знали рівність 3² + 4 = 5 . Передбачається, що за допомогою трикутників зі сторонами 3, 4 і 5 єгипетські «натягівателі мотузок» вибудовували прямі кути.

Знали теорему Піфагора і в Вавилоні. На глиняних табличках, що датуються 2000 роком до н.е. і відносяться до часу правління царя Хаммурапі, виявлений приблизний розрахунок гіпотенузи прямокутного трикутника.

Індія і Китай

Історія теореми Піфагора пов`язана і з древніми цивілізаціями Індії і Китаю. Трактат «Чжоу-бі суань цзинь» містить вказівки, що єгипетський трикутник (Його боку співвідносяться як 3: 4: 5) був відомий в Китаї ще в XII в. до н. е., а до VI ст. до н. е. математики цієї держави знали загальний вигляд теореми.

Побудова прямого кута за допомогою єгипетського трикутника було викладено і в індійському трактаті «Сульва сутра», що датується VII-V ст. до н. е.

Таким чином, історія теореми Піфагора до моменту народження грецького математика і філософа налічувала вже кілька сотень років.

Доведення

За час свого існування теорема стала однією з основних в геометрії. Історія доведення теореми Піфагора, ймовірно, почалася з розгляду рівностороннього прямокутного трикутника. На його гіпотенузі і катетах будуються квадрати. Той, що «виріс» на гіпотенузі, буде складатися з чотирьох трикутників, рівних першому. Квадрати на катетах при цьому складаються з двох таких трикутників. Просте графічне зображення наочно показує справедливість твердження, сформульованого у вигляді знаменитої теореми.

Ще одне просте доказ поєднує геометрію з алгеброю. Чотири однакових прямокутних трикутника зі сторонами а, в, з викреслюються так, що утворюють два квадрата: зовнішній зі стороною (а + в) і внутрішній зі стороною с. При цьому площа меншого квадрата дорівнюватиме з². Площа великого обчислюється з суми площ маленького квадрата і всіх трикутників (площа прямокутного трикутника, нагадаємо, обчислюється за формулою (а * в) / 2), тобто з² + 4 * ((а * в) / 2), що дорівнює з² + 2АВ. Площа великого квадрата можна обчислити і інакше - як твір двох сторін, тобто (а + в)², що дорівнює а² + 2АВ + в². виходить:

а² + 2АВ + в² = з² + 2АВ,

а² + в² = з².

Відомо безліч варіантів доведення цієї теореми. Над ними працював і Евклід, і індійські вчені, і Леонардо да Вінчі. Часто стародавні мудреці приводили креслення, приклади яких розташовані вище, і не супроводжували їх ніякими поясненнями, крім позначки «Дивись!» Простота геометричного доказу за умови наявності деяких знань коментарів і не вимагала.

Історія теореми Піфагора, коротко викладена в статті, розвінчує міф про її походження. Однак важко навіть уявити, що ім`я великого грецького математика і філософа коли-небудь перестане асоціюватися з нею.