Метод математичної індукції
Метод математичної індукції може прирівнюватися до прогрессу. Так, починаючи з нижчого рівня, дослідники за допомогою логічного мислення переходять до вищого. Будь поважаючий себе людина постійно прагне до прогресу і вмінню логічно мислити. Саме тому природою створено індуктивне мислення.
Термін «індукція» в перекладі на російську мову означає наведення, тому індуктивними прийнято вважати висновки за результатами певних дослідів і спостережень, які отримані шляхом формування від часткового до загального.
Прикладом може бути споглядання сходу сонця. Поспостерігавши дане явище протягом декількох днів поспіль, можна сказати, що зі сходу сонце зійде і завтра, і післязавтра і т.д.
Індуктивні висновки досить широко застосовувалися і застосовуються в експериментальних науках. Так, за допомогою їх можна сформулювати положення, на підставі яких вже за допомогою дедуктивних методів можуть бути зроблені подальші умовиводи. З упевненістю можна стверджувати, що «три кити» теоретичної механіки - закони руху Ньютона - самі є результатом проведення приватних дослідів з підбиттям загального підсумку. А закон Кеплера про рух планет був виведений їм на підставі багаторічних спостережень Т. Бразі, данського астронома. Саме в наведених випадках індукція зіграла свою позитивну роль для уточнення і узагальнення зроблених припущень.
Незважаючи на розширення області свого застосування метод математичної індукції, на жаль, займає мало часу в шкільній програмі. Однак в сучасному світі саме з дитячих років необхідно привчати підростаюче покоління мислити індуктивно, а не просто вирішувати завдання за певним шаблоном або заданої формулою.
Метод математичної індукції може бути широко застосований в алгебрі, арифметиці і геометрії. В цих розділах необхідно проводити доказ істинності деякого безлічі чисел, що залежить від натуральних змінних.
Відео: Математична індукція
Принцип математичної індукції грунтується на доказі істинності пропозиції A (n) для будь-яких значень змінної і складається з двох етапів:
1. Істинність пропозиції A (n) доведено при n = 1.
2. У разі, коли пропозиція A (n) зберігає істинність для n = k (k - натуральне число), воно буде істинним для наступного значення n = k + 1.
Даний принцип і формулює метод мат. індукції. Найчастіше він приймається як аксіома, яка визначає ряд чисел, і застосовується без доказів.
Існують моменти, коли метод математичної індукції в окремих випадках підлягає доведенню. Так, у разі, коли потрібно довести істинність пропонованого безлічі A (n) для всіх натуральних чисел n, необхідно:
- перевірити на істинність висловлювання A (1);
- довести істинність висловлювання A (k + 1) при прийнятті до уваги істинність A (k).
У разі вдалого докази справедливості даної пропозиції для будь-якого натурального числа k визнається істинним пропозицію A (n) для всіх значень n, відповідно до зазначеного принципом.
Відео: Метод математичної індукції.
Наведений метод математичної індукції досить широко використовується в доказах тотожностей, теорем, нерівностей. Також може застосовуватися в рішенні задач геометричного характеру і на подільність.
Однак не слід думати, що на цьому і закінчується використання методу індукції в математиці. Наприклад, не обов`язково експериментально перевіряти всі теореми, які логічно виведені з аксіом. Але при цьому з цих аксіом є можливість формулювання великої кількості тверджень. І саме вибір тверджень і підказується використанням індукції. За допомогою цього методу можна розділити всі теореми на необхідні для науки і практики і не дуже.
