Як знайти площу чотирикутника?

Якщо на площині послідовно накреслити кілька відрізків так, щоб кожен наступний починався в тому місці, де закінчився попередній, то вийде ламана лінія. Ці відрізки називають ланками, а місця їх перетину - вершинами. Коли кінець останнього відрізка перетнеться з початковою точкою першого, то вийде замкнута ламана лінія, що ділить площину на дві частини. Одна з них є кінцевою, а друга нескінченною.

Відео: ЄДІ 2017 | Завдання 3 | Знайдіть площу чотирикутника ... Школа Піфагора

Проста замкнена лінія разом з укладеної в ній частиною площині (тієї, яка кінцева) називають багатокутником. Відрізки є сторонами, а утворені ними кути - вершинами. Кількість сторін будь-якого багатокутника дорівнює числу його вершин. Фігура, яка має три сторони, називається трикутником, а чотири - чотирикутником. Багатокутник чисельно характеризується такою величиною, як площа, яка показує розмір фігури. Як знайти площу чотирикутника? Цьому вчить розділ математики - геометрія.

Щоб знайти площу чотирикутника, потрібно знати до якого типу він відноситься - опуклого або неопуклого? кутника весь лежить відносно прямої (а вона обов`язково містить будь-яку з його сторін) по одну сторону. Крім того, є і такі види чотирикутників, як паралелограм з попарно рівними і паралельними протилежними сторонами (різновиди його: прямокутник з прямими кутами, ромб з рівними сторонами, квадрат з усіма прямими кутами і чотирма рівними сторонами), трапеція з двома паралельними протилежними сторонами і дельтоид з двома парами суміжних сторін, які дорівнюють.

Відео: ЄДІ математика В6. Площа чотирикутника

Площі будь-якого багатокутника знаходять, застосовуючи загальний метод, який полягає в тому, щоб розбити його на трикутники, для кожного обчислити площу довільного трикутника і скласти отримані результати. Будь-опуклий чотирикутник ділиться на два трикутника, неопуклих - на два або три трикутника, площа його в цьому випадку може складатися з суми і різниці результатів. Площа будь-якого трикутника обчислюють як половину твору підстави (a) на висоту ( ), проведену до основи. Формула, яка застосовується в цьому випадку для обчислення, записується як: S = ½- • a • .

Відео: ЄДІ 2017 | Завдання 3 | Знайдіть площу чотирикутника ... Школа Піфагора

Як знайти площу чотирикутника, наприклад, паралелограма? Потрібно знати довжину підстави (a), довжину бічної сторони ( ) і знайти синус кута &alpha-, утвореного підставою і бічною стороною (sin&alpha-), формула для розрахунку буде виглядати: S = a • • sin&alpha-. Так як синус кута &alpha- є твір підстави паралелограма на його висоту ( = ) - лінію перпендикулярна основи, то його площа обчислюють, помноживши на висоту його підставу: S = a • . Для розрахунку площі ромба і прямокутника також підходить ця формула. Так як у прямокутника бічна сторона збігається з висотою , то його площа обчислюють за формулою S = a • . Площа квадрата, тому що a = , буде дорівнювати квадрату його сторони: S = a • a = a . Площа трапеції обчислюється як половина суми його сторін, помножена на висоту (вона проводиться до основи трапеції перпендикулярно): S = ½- • (A + ) • .

Як знайти площу чотирикутника, якщо невідомі довжини його сторін, але відомі його діагоналі (e) і (f), а також синус кута &alpha-? У цьому випадок площа обчислюють, як половину твору його діагоналей (лінії, які з`єднують вершини багатокутника), помножене на синус кута &alpha-. Формула може бути записана в такому вигляді: S = ½- • (e • f) • sin&alpha-. Зокрема площа ромба в цьому випадку буде дорівнювати половині твори діагоналей (лінії, що з`єднують протилежні кути ромба): S = ½- • (e • f).

Відео: ЄДІ С2 .Площадь чотирикутника математіка.Відео

Як знайти площу чотирикутника, який не є паралелограма або трапецією, його зазвичай прийнято називати довільний чотирикутник. Площа такої фігури виражають через його напівпериметр (&Rho- - сума двох сторін із загальною вершиною), сторони a, , c, d і суму двох протилежних кутів (&alpha- + &beta-): S = &radic - [( &Rho- - a) • (&Rho- - ) • (&Rho- - c) • (&Rho- - d) - a • • c • d • cos ½- (&alpha- + &beta-)].

Якщо чотирикутник вписаний в окружність, а &phi- = 180о, то для розрахунку його площі використовують формулу Брахмагупти (індійський астроном і математик, що жив в 6-7 століттях нашої ери): S = &radic - [( &Rho- - a) • (&Rho- - ) • (&Rho- - c) • (&Rho- - d)]. Якщо чотирикутник описаний окружністю, то (a + c = + d), а його площа обчислюють: S = &radic- [a • • c • d] • sin ½- (&alpha- + &beta-). Якщо чотирикутник одночасно є описаним однією колом і вписаним в іншу окружність, то для обчислення площі використовують наступну формулу: S = &radic- [a • • c • d].