Етапи моделювання в математиці, економіці та інформатики

У масштабному варіанті модель являє собою якийсь образ, схему, карту, опис, зображення певного явища або процесу. Саме явище називають оригіналом математичної або економічної моделі.

Що таке моделювання?

Моделювання є дослідженням якогось об`єкта, системи. Для його здійснення будується і аналізується модель.

Всі етапи моделювання припускають науковий експеримент, об`єктом якого є абстрактна або предметна модель. При проведенні експерименту конкретне явище підміняють схемою або спрощеною моделлю (копією). У деяких випадках збирають діючу модель, щоб на її прикладі зрозуміти механізм роботи, проаналізувати економічну доцільність впровадження результатів досвіду в ринкову економіку. Одне і те ж явище може бути розглянуто різними моделями.

Дослідник повинен вибрати потрібні етапи моделювання, оптимально їх використовувати. Застосування моделей актуально в тих випадках, коли реальний об`єкт не доступний, які експерименти з ним пов`язані з серйозними екологічними проблемами. Діюча модель застосовується і в тих ситуаціях, коли реальний експеримент передбачає суттєві матеріальні витрати.

Особливості математичного моделювання

У науці незамінні математичні моделі, а також інструменти для них - математичні поняття. Протягом декількох тисячоліть вони накопичувалися, модернізувалися. У сучасній математиці існують універсальні і потужні методи дослідження. Будь-які об`єкти, що розглядаються «царицею наук», є математичною моделлю. Для детального аналізу обраного об`єкта підбираються етапи математичного моделювання. З їх допомогою виділяють деталі, особливості, характерні риси, систематизують отриману інформацію, роблять повноцінне опис об`єкта.

Математична формалізація передбачає оперування під час дослідження спеціальними поняттями: матрицею, функцією, похідною, первообразной, числами. Ті відносини і зв`язку, які вдається знайти в досліджуваному об`єкті між складовими елементами і деталями, записують математичними відносинами: рівняннями, нерівностями, равенствами. В результаті отримують математичний опис явища або процесу, а отже, його математичну модель.

Правила вивчення математичної моделі

Існує певний порядок етапів моделювання, який дозволяє встановити зв`язки між наслідками і причинами. центральним етапом проектування або дослідження системи є побудова повноцінної математичної моделі. Саме від якості виконаних дій безпосередньо залежить подальший аналіз даного об`єкта. Побудова математичної або економічної моделі не є формальною процедурою. Вона повинна бути зручною для застосування, точної, щоб не було помилок в результатах аналізу.

Про класифікацію математичних моделей

Виділяють два різновиди: детерміновані і стохастичні моделі. детерміновані моделі передбачають встановлення взаємно-однозначної відповідності між змінними, що використовуються для опису явища або об`єкта.

Подібний підхід базується на інформації про принцип дії об`єкта. У багатьох випадках моделируемое явище має складну структуру, для розшифровки її потрібно багато часу і знань. У подібних ситуаціях підбирають такі етапи моделювання, які дозволять провести на оригіналі експерименти, виконати обробку отриманих результатів, не вдаючись у теоретичні особливості об`єкта. Найчастіше користуються статистикою і теорією ймовірності. В результаті отримують стохастическую модель. У ній між змінними існує випадковий зв`язок. Величезна кількість різних факторів викликає випадковий набір змінних, за допомогою яких характеризується явище або об`єкт.

Сучасні етапи моделювання застосовують до статичних і динамічних моделей. У статичних видах опис зв`язків між змінними створюваного явища не передбачає врахування зміни в часі основних параметрів. Для динамічних моделей опис зв`язків між змінними здійснюється з урахуванням тимчасових змін.

Різновиди моделей:

• безперервні;
• дискретні;
• змішані

Різні етапи математичного моделювання дозволяють описувати в лінійних моделях відносини і функції, використовуючи прямий зв`язок змінних величин.

Які вимоги пред`являються до моделей?

• Універсальність. Модель повинна бути повним відображенням усіх властивостей, властивих реальному об`єкту.
• Адекватність. Важливі характеристики об`єкта не повинні перевищувати задану величину похибки.
• Точність. Характеризує ступінь збігів характеристик існуючого в реальності об`єкта з аналогічними параметрами, отриманими при вивченні моделі.
• Економічність. Модель повинна бути мінімальною за матеріальними витратами.

етапи моделювання

Розглянемо основні етапи математичного моделювання.

• Вибір завдання. Вибирається мета дослідження, підбираються способи її реалізації, виробляється стратегія експерименту. Даний етап передбачає серйозну роботу. Саме від правильності поставленого завдання залежить кінцевий результат моделювання.

• Аналіз теоретичних основ, підсумовування інформації, отриманої про об`єкт. Подібний етап має на увазі підбір або створення теорії. При відсутності теоретичних знань про об`єкт встановлюють причинно-наслідкові зв`язки між усіма змінними, обраними для опису явища або об`єкта. На даному етапі визначають початкові та кінцеві дані, висувають гіпотезу.
• Формалізація. Здійснюється вибір системи спеціальних позначень, які допоможуть записувати у формі математичних виразів відносини між компонентами даного об`єкту.

Відео: Алгебра 7 клас. 9 вересня. три етапи математичного моделювання

Доповнення до алгоритму

Після установки параметрів моделі вибирають певний спосіб або метод рішення.

• Реалізація створеної моделі. Після того як будуть обрані етапи моделювання систем, створюється програма, яка проходить тестування і застосовується для вирішення поставленого завдання.
• Аналіз зібраної інформації. Проводиться аналогія між поставленим завданням і отриманим рішенням, визначається похибка моделювання.
• Перевірка відповідності моделі реальному об`єкту. Якщо між ними буде суттєва відмінність, розробляється нова модель. До тих пір, поки не буде отримано ідеальне відповідність моделі її реальному аналогу, проводиться уточнення, зміна деталей.

характеристика моделювання

В середини минулого століття в житті сучасної людини з`явилася обчислювальна техніка, зросла актуальність математичних методів дослідження об`єктів і явищ. З`явилися такі розділи, як «математична хімія», «математична лінгвістика», «математична економіка», що займаються вивченням явищ, об`єктів, були створені основні етапи моделювання.

Основною їх метою було пророкування планованих спостережень, дослідження певних об`єктів. Крім того, за допомогою моделювання можна пізнавати навколишній світ, шукати способи управління ім. Проведення комп`ютерного експерименту передбачається в тих випадках, коли провести справжній не виходить. Після побудови математичної моделі досліджуваного явища шляхом комп`ютерної графіки можна вивчати ядерні вибухи, епідемії чуми і т. Д.

Фахівці виділяють три етапи математичного моделювання, і у кожного є свої особливості:

• Побудова моделі. Даний етап передбачає завдання економічного плану, явища природи, конструкції, виробничого процесу. Чітко описати ситуацію в даному випадку складно. Для початку потрібно виявити специфіку явища, визначити взаємозв`язок між ним та іншими об`єктами. Потім все якісні характеристики переводяться на математичну мову, вибудовується математична модель. Даний етап є найважчим у всьому процесі моделювання.
• Етап рішення математичної задачі, пов`язаний з розробкою алгоритмів, способів вирішення завдання на обчислювальній техніці, виявлення похибки вимірювань.
• Переклад інформації, отриманої в ході досліджень, в мову тієї області, для якої проводився експеримент.

Ці три етапи математичного моделювання доповнюються перевіркою адекватності отриманої моделі. Виконується перевірка відповідності між результатами, отриманими в експерименті, з теоретичними знаннями. При необхідності проводять модифікацію створеної моделі. Її ускладнюють або спрощують, в залежності від отриманих результатів.

Особливості економічного моделювання

3 етапи математичного моделювання припускають використання алгебраїчних, диференціальних систем рівнянь. Складні об`єкти вибудовують за допомогою теорії графів. Вона передбачає безліч точок в просторі або на площині, частково з`єднаних ребрами. Основні етапи економічного моделювання на увазі вибір ресурсів, їх розподіл, облік транспортних перевезень, мережеве планування. Який вплив не є етапом моделювання? Складно відповісти на дане питання однозначно, все залежить від конкретної ситуації. Основні етапи процесу моделювання припускають формулювання мети і предмета дослідження, виділення основних характеристик для досягнення мети, опис взаємозв`язку між фрагментами моделі. Далі виконують розрахунки, користуючись математичними формулами.

Наприклад, теорія обслуговування є проблемою формування черг. Важливо знайти рівновагу між витратами на утримання пристроїв і витрати на перебування в черзі. Після побудови формального опису моделі здійснюють розрахунки, застосовуючи обчислювальні та аналітичні технології. При якісному складанні моделі можна знайти відповіді на всі питання. Якщо модель погана, неможливо зрозуміти, яка мета не є етапом моделювання.

Відео: Як побудувати математичну модель оптимізаційної задачі

Практичність є справжнім критерієм для оцінки його явища або моделі. Багатокритеріальні моделі, включаючи оптимізаційні варіанти, передбачають постановку мети. А ось спосіб досягнення цієї мети відрізняється. Серед складнощів, які можливі в процесі, слід виділити:

• в складній системі між елементами існує кілька зв`язків;
• важко врахувати всі випадкові фактори, аналізуючи реальну систему;
• проблематично зіставляти математичний апарат з тими результатами, які ви хочете отримати

Через безліч складнощів, які з`являються в процесі вивчення багатогранних систем, було розроблено імітаційне моделювання. Під ним розуміють комплект спеціальних програм для обчислювальної техніки, який описує роботу окремих елементів системи та взаємозв`язку між ними. Застосування випадкових величин передбачає багаторазове повторення експериментів, статистичну обробку результатів. Робота з імітаційної системою є експериментом, який здійснюється за допомогою обчислювальної техніки. Які переваги даної системи? Подібним чином можна домогтися більшої близькості до справжньої системі, що неможливо в разі математичної моделі. За допомогою блочного принципу можна аналізувати окремі блоки до того, як вони будуть включені в єдину систему. Подібний варіант дозволяє використовувати складні залежності, які не можна описати за допомогою звичайних математичних співвідношень.

Серед мінусів побудови імітаційної системи, виділимо витрати за часом і ресурсами, а також необхідність застосування сучасної комп`ютерної техніки.

Відео: Економіко-математичне моделювання

Етапи розвитку моделювання можна порівняти зі змінами, що відбуваються в суспільстві. По області використання все моделі поділяють на навчальні програми, тренажери, навчально-наочні посібники. Досвідчені моделі можуть бути зменшеними копіями реальних об`єктів (автомобілів). Науково-технічні варіанти являють собою стенди, створювані для аналізу електронної апаратури. імітаційні моделі не тільки відображають справжню реальність, вони припускають апробацію на лабораторних мишах, експериментах в системі освіти. Імітація розглядається як метод помилок і проб.

Відео: У світі комп`ютерного моделювання

Існує підрозділ всіх моделей за спрощеним варіантом уявлення. Матеріальні моделі називають предметними. Подібні варіанти наділені геометричними і фізичними характеристиками самого оригіналу, їх можна втілити в реальність. Інформаційні моделі неможливо помацати руками. Вони характеризують стан і властивості досліджуваного об`єкта, явища, процесу, і зв`язок їх з реальним світом. Вербальні варіанти припускають інформаційні моделі, реалізовані в розмовному або уявному вигляді. Знакові види висловлюють шляхом застосування певних знаків багатогранного математичної мови.

висновок

Математичне моделювання у вигляді методу наукового пізнання з`явилося одночасно з основами вищої математики. Важливу роль в подібному процесі зіграли І. Ньютон, Р. Декарт, Г. Лейбніц. Математичні моделі були вперше побудовані П. Ферма, Б. Паскалем. Математичного моделювання у виробництві, економіці приділяли увагу В. В. Леонтьєв, В. В. Новожилов, А. Л. Лур`є. У наші дні подібний варіант вивчення об`єкта чи явища застосовується в різних сферах діяльності. За допомогою проектованих систем інженери досліджують такі явища і процеси, які не можна проаналізувати в реальних умовах.

Наукові дослідження шляхом моделювання застосовували в глибоку давнину, захоплюючи з часом різноманітні види наукових знань: архітектуру, конструювання, хімію, будівництво, фізику, біологію, екологію, географію, а також громадські науки. У будь-якому процесі моделювання застосовують три компоненти: суб`єкт, об`єкт, модель. Безумовно, моделюванням вивчення об`єкта чи явища не обмежується, є й інші способи отримання необхідної інформації.