Рівновага неша. Теорія ігор для економістів (джон неш)

У 1930-і роки Джон фон Нейман і Оскар Моргенштерн стали засновниками нового цікавого напрямку математики, яке отримало назву "теорія ігор". У 1950-ті роки цим напрямком зацікавився молодий математик Джон Неш. Теорія рівноваги стала темою його дисертації, яку він написав, будучи у віці 21 рік. Так народилася нова стратегія ігор під назвою «Рівновага Неша», що заслужила Нобелівську премію через багато років - в 1994 році.

Відео: Теорія Ігор. Рівновага Неша визначення 14

Довгий розрив між написанням дисертації і загальним визнанням став випробуванням для математика. Геніальність без визнання вилилася в серйозні ментальні порушення, але і це завдання Джон Неш зміг вирішити завдяки прекрасному логіческуму розуму. його теорія "рівновагу Неша" удостоїлася премії Нобеля, а його життя екранізації у фільмі «Beautiful mind» ( «Ігри розуму»).

Коротко про теорії ігор

Оскільки теорія рівноваги Неша пояснює поведінку людей в умовах взаємодії, тому варто розглянути основні поняття теорії ігор.

Теорія ігор вивчає поведінку учасників (агентів) в умовах взаємодії один з одним за типом гри, коли результат залежить від рішення і поведінки кількох людей. Учасник приймає рішення, керуючись своїми прогнозами щодо поведінки інших, що і називається ігровий стратегією.

Існує також домінуюча стратегія, при якій учасник отримує оптимальний результат при будь-якому поведінці інших учасників. Це найкраща безпрограшна стратегія гравця.

Відео: Теорія ігор і Рівновага Неша

Дилема ув`язненого та науковий прорив

Дилема ув`язненого - це випадок з грою, коли учасники змушені приймати раціональні рішення, досягаючи загальної мети в умови конфлікту альтернатив. Питання полягає в тому, який із цих варіантів він вибере, усвідомлюючи особистий і загальний інтерес, а також неможливість отримати і те, і інше. Гравці немов укладені в жорсткі ігрові умови, що часом змушує їх мислити дуже продуктивно.

Цю дилему досліджував американський математик Джон Неш. Рівновага, яке він вивів, стало революційним у своєму роді. Особливо яскраво ця нова думка вплинула на думку економістів про те, як роблять вибір гравці ринку, з огляду на інтереси інших, при щільному взаємодії і перетині інтересів.

Найкраще вивчати теорію ігор на конкретних прикладах, оскільки сама ця математична дисципліна не є сухо-теоретичної.

Приклад дилеми укладеного

Приклад, двоє людей зробили грабіж, потрапили в руки поліції і проходять допит в окремих камерах. При цьому служителі поліції пропонують кожному учаснику вигідні умови, при яких він вийде на свободу в разі надання свідчень проти свого напарника. У кожного із злочинців існує наступний набір стратегій, які він розглядатиме:

1. Обидва одночасно дають показання і отримують по 2,5 року в тюрмі.
2. Обидва одночасно мовчать і отримують по 1 році, оскільки в такому випадку доказова база їх провини буде мала.
3. Один дає свідчення і отримує свободу, а інший мовчить і отримує 5 років в`язниці.

Очевидно, що результат справи залежить від рішення обох учасників, але змовитися вони не можуть, оскільки сидять в різних камерах. Також яскраво видно конфлікт їх особистих інтересів в боротьбі за загальний інтерес. У кожного з ув`язнених є два варіанти дій і 4 варіанти результатів.

Ланцюг логічних умовиводів

Отже, злочинець А розглядає такі варіанти:

1. Я мовчу і мовчить мій напарник - ми обидва отримаємо по 1 року в`язниці.
2. Я здаю напарника і він здає мене - ми обидва отримаємо по 2,5 року в`язниці.
3. Я мовчу, а напарник мене здає - я отримаю 5 років в`язниці, а він свободу.
4. Я здаю напарника, а він мовчить - я отримую свободу, а він 5 років в`язниці.

Наведемо матрицю можливих рішень і результатів для наочності.

Таблиця вірогідних результатів дилеми ув`язненого.

Відео: Як шукати змішане рівновагу в Теорії ігор

Питання полягає в тому, що вибере кожен учасник?

«Мовчати, не можна говорити» або «мовчати не можна, говорити»

Щоб зрозуміти вибір учасника, потрібно пройти по ланцюжку його роздумів. Слідуючи міркувань злочинця А: якщо я промовчу і промовчить мій напарник, ми отримаємо мінімум терміну (1 рік), але я не можу дізнатися, як він себе поведе. Якщо він дасть свідчення проти мене, то мені також краще дати свідчення, інакше я можу сісти на 5 років. Краще мені сісти на 2,5 роки, ніж на 5 років. Якщо він буде мовчати, то мені тим більше потрібно дати показання, оскільки так я отримаю свободу. Точно так же міркує і учасник B.

Неважко зрозуміти, що домінуюча стратегія для кожного із злочинців - це дача свідчень. Оптимальна точка цієї гри настає тоді, коли обидва злочинці дають показання і отримують свій «приз» - 2,5 року в`язниці. Теорія ігор Неша називає це рівновагою.

Неоптимальний оптимальне рішення Неша

Революційність нешевского погляду в тому, що така рівновага не є оптимальним, якщо розглянути окремого учасника і його особистий інтерес. Адже найкращий варіант - це промовчати і вийти на свободу.

Рівновага Неша - це точка дотику інтересів, де кожен учасник вибирає такий варіант, який для нього оптимальний тільки за умови, що інші учасники вибирають певну стратегію.

Розглядаючи варіант, коли обидва злочинці мовчать і отримують всього по 1 році, можна назвати нього Парето-оптимальним варіантом. Однак він можливий, тільки якщо злочинці змогли б домовитися заздалегідь. Але навіть це не гарантувало б цього результату, оскільки спокуса відступити від домовленості і уникнути покарання великий. Відсутність повної довіри один до одного і небезпечне через 5 років змушує вибрати варіант з визнанням. Міркувати про те, що учасники будуть дотримуватися варіанту з мовчанням, діючи узгоджено, просто нераціонально. Такий висновок можна зробити, якщо вивчати рівновагу Неша. Приклади тільки доводять правоту.

Егоїстично або раціонально

Теорія рівноваги Неша дала приголомшливі висновки, спростували існуючі до цього принципи. Наприклад, Адам Сміт розглядав поведінку кожного з учасників як абсолютно егоїстичне, що і призводило систему в рівновагу. Ця теорія мала назву «невидима рука ринку».

Джон Неш побачив, що якщо всі учасники будуть діяти, переслідуючи тільки свої інтереси, то це ніколи не приведе до оптимального групового результату. З огляду на, що раціональне мислення притаманне кожному учаснику, більш ймовірний вибір, який пропонує стратегія рівноваги Неша.

Чисто чоловічий експеримент

Яскравим прикладом може служити гра «парадокс блондинки», яка хоча і здається недоречною, але є яскравою ілюстрацією, яка б показала, як працює теорія ігор Неша.

У цій грі потрібно уявити, що компанія вільних хлопців прийшла в бар. Поруч виявляється компанія дівчат, одна з яких найкращим за всі інші, скажімо блондинка. Як хлопцям повестися, щоб отримати найкращу подругу для себе?

Отже, міркування хлопців: якщо всі почнуть знайомитися з блондинкою, то, швидше за все, вона нікому не дістанеться, тоді і її подруги не захочуть знайомства. Ніхто не хоче бути другим запасним варіантом. Але якщо хлопці виберуть уникати блондинку, то ймовірність кожного з хлопців знайти серед дівчат хорошу подругу висока.

Ситуація рівноваги Неша неоптимальна для хлопців, оскільки, переслідуючи лише свої егоїстичні інтереси, кожен вибрав би саме блондинку. Видно, що переслідування лише егоїстичних інтересів буде рівнозначно краху групових інтересів. Рівновага Неша означатиме те, що кожен хлопець діє в своїх особистих інтересах, які стикаються з інтересами всієї групи. Це неоптимальний варіант для кожного особисто, але оптимальний для кожного, виходячи із загальної стратегії успіху.

Все наше життя гра

Прийняття рішень в реальних умовах дуже нагадує гру, коли ви очікуєте певного раціонального поведінки і від інших учасників. У бізнесі, в роботі, в колективі, в компанії і навіть в стосунках з протилежною статтю. Від великих угод і до звичайних життєвих ситуацій все підпорядковується того чи іншого закону.

Звичайно, розглянуті ігрові ситуації зі злочинцями і баром - це всього лише відмінні ілюстрації, що демонструють рівновагу Неша. Приклади таких дилем дуже часто виникають на реальному ринку, а особливо це працює у випадках з двома монополістами, які контролюють ринок.

змішані стратегії

Часто ми вовлекаеми не в одну, а відразу в кілька ігор. Вибираючи один з варіантів одній грі, керуючись раціональною стратегією, але потрапляєте в іншу гру. Після декількох раціональних рішень ви можете виявити, що ваш результат вас не влаштовує. Що ж робити?

Розглянемо два види стратегії:

• Чистий стратегія - це поведінка учасника, яке виходить з міркування над можливим поведінкою інших учасників.
• Змішана стратегія або випадкова стратегія - це чергування чистих стратегій випадково або вибір чистої стратегії з певною ймовірністю. Таку стратегію ще називають рендомізірованной.

Розглядаючи таку поведінку, ми отримуємо новий погляд на рівновагу за Нешем. Якщо раніше йшлося про те, що гравець вибирає стратегію один раз, то можна уявити і іншу поведінку. Можна допустити той варіант, що гравці вибирають стратегію випадково з певною ймовірністю. Ігри, в яких не можна знайти рівноваги Неша в чистих стратегіях, завжди мають їх в змішаних.

Рівновага Неша в змішаних стратегіях називається змішаним рівновагою. Це така рівновага, де кожен учасник вибирає оптимальну частоту вибору своїх стратегій за умови, що інші учасники вибирають свої стратегії із заданою частотою.

Пенальті і змішана стратегія

Приклад змішаної стратегії можна привести в грі в футбол. Краща ілюстрація змішаної стратегії - це, мабуть, серія пенальті. Так, у нас є воротар, який може стрибнути тільки в один кут, і гравець, який буде бити пенальті.

Відео: Теорія Ігор. Інтерпретація рівноваги Неша. 22

Отже, якщо в перший раз гравець вибере стратегію зробити удар в лівий кут, а воротар також впаде в цей кут і зловить м`яч, то як можуть розвиватися події вдруге? Якщо гравець буде бити в протилежний кут, це, швидше за все, занадто очевидно, але і удар в той же кут не менш очевидний. Тому і воротарю, і б`є нічого не залишається, як покластися на випадковий вибір.

Так, чергуючи випадковий вибір з певною чистої стратегією, гравець і воротар питаються отримати максимальний результат.