Як вирішувати систему рівнянь лінійного типу

Відео: Метод Крамера за 3 хвилини. Рішення системи лінійних рівнянь - bezbotvy

Для повного розуміння того, як вирішувати систему рівнянь, слід розглянути, що ж вона являє собою. Як зрозуміло з самого терміна, «система» - це сукупність кількох рівнянь, пов`язаних між собою. Існують системи алгебраїчних і диференціальних рівнянь. У даній статті ми приділимо увагу тому, як вирішувати систему рівнянь першого типу.
За визначенням, алгебраїчним називається рівняння, в якому над змінними відбуваються лише прості математичні операції, тобто складання, розподіл, віднімання, множення, зведення в ступінь і відшукання кореня. Алгоритм рішення рівняння даного типу зводиться до того, щоб шляхом його перетворень знайти рівносильну йому, але більш просту конструкцію.
Системи алгебраїчних рівнянь поділяються на лінійні і нелінійні.
система лінійних рівнянь (Також широко використовується абревіатура СЛАР) відрізняється від системи нелінійних рівнянь тим, що невідомі змінні тут знаходяться в першого ступеня. Загальний вигляд СЛАР в матричної записи виглядає так: Ax = b, де А - безліч відомих коефіцієнтів, х - змінні, b - безліч відомих вільних членів.

Існує безліч способів того, як вирішувати систему рівнянь подібного типу, вони підрозділяються на прямі та ітераційні методи. Прямі методи дозволяють знайти значення змінних за певну кількість математичних перетворень, а ітераційні використовують алгоритм послідовного наближення і уточнення.

Розберемо на прикладі, як вирішити систему лінійних рівнянь, використовуючи прямий метод знаходження значення змінних. До прямих методів належать методи Гаусса, Жордана-Гаусса, Крамера, прогонки і деякі інші. Одним з найпростіших можна назвати метод Крамера, зазвичай саме з нього в навчальних програмах починається знайомство з матрицями. Даний метод призначається для вирішення квадратних СЛАР, тобто таких систем, в яких кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих змінних в рядку. Також для того щоб вирішити систему рівнянь методом Крамера, необхідно переконатися, що вільні члени - НЕ нулі (це необхідна умова).

Відео: 26. 1. Рішень систем лінійних рівнянь методом Гаусса

Алгоритм рішення такий: складається матриця 1, що складається з відомих коефіцієнтів а-системи і знаходиться її головний визначник х. Визначник знаходять шляхом вирахування твори елементів побічної діагоналі з твору елементів головною.

Далі складається матриця 2, де в перший стовпець підставляють значення вільних елементів b, аналогічно до попереднього прикладу знаходять визначник х₁.

Складаємо матрицю 3, значення вільних коефіцієнтів підставляємо вже в другій стовпець, знаходимо визначник матриці х₂. І так далі до тих пір, поки не обчислимо визначник тієї матриці, де коефіцієнти b знаходяться в останньому стовпчику.

Щоб знайти значення тієї чи іншої змінної, необхідно отримані при підстановці вільних коефіцієнтів визначники розділити на головний визначник, тобто x₁= х₁/ х, х₂= х₂/ х і т.д.
При виникненні питань про те, як вирішувати систему рівнянь тим чи іншим способом рекомендую звернутися до довідкового та навчального матеріалу, де докладно викладені всі основні кроки.