Геометрична прогресія та її властивості

Геометрична прогресія має важливе значення в математиці як науці, так і в прикладному значенні, оскільки має надзвичайно широку сферу застосування, навіть в вищої математики, скажімо, в теорії рядів. Перші відомості про прогресіях дійшли до нас із Стародавнього Єгипту, зокрема, у вигляді відомої задачі з папірусу Райнд про семи осіб, які мають по сім кішок. Варіації цього завдання багато разів повторювалися в різні часи у інших народів. Навіть великий Леонардо Пізанський, більш відомий як Фібоначчі (XIII в.), Звернувся до неї у своїй «Книзі про абаці».

Так що, геометрична прогресія має давню історію. Вона являє собою числову послідовність з відмінним від нуля першим членом, а кожний наступний, починаючи з другого, визначається по рекуррентной формулою множенням попереднього на постійне, відмінне від нуля число, яке називається знаменником прогресії (його зазвичай позначають, використовуючи букву q).
Очевидно, що його можна знайти діленням кожного наступного члена послідовності на попередній, тобто z 2: z 1 = ... = z n: z n-1 = .... Отже, для завдання самої прогресії (z n) досить, щоб був відомо значення її першого члена y 1 і знаменника q.

Наприклад, припустимо z 1 = 7, q = - 4 (q lt; 0), тоді виходить наступна геометрична прогресія 7, - 28, 112, - 448, .... Як бачимо, отримана послідовність перестав монотонна.

Згадаймо, що довільна послідовність монотонна (зростаюча / спадна), коли кожен з її подальших членів більше / менше, ніж попередній. Наприклад, послідовності 2, 5, 9, ... і -10, -100, -1000, ... - монотонні, причому друга з них - це спадна геометрична прогресія.

Відео: §130 Сума безмежно спадної геометричної прогресії

У разі, коли q = 1, в прогресії всі члени виходять рівними і її називають постійною.

Для того щоб послідовність була прогресією цього типу, вона повинна задовольняти наступній необхідної та достатньої умові, а саме: починаючи з другого, кожен з її членів має бути середнім геометричним сусідніх з ним членів.

Це властивість дозволяє при відомих два поруч стоять знаходити довільний член прогресії.

Відео: Як вирішувати завдання по арифметичній і геометричній прогресії

n-ий член геометричної прогресії легко знайти за формулою: z n = z 1 * q ^ (n-1), знаючи перший член z 1 і знаменник q.

оскільки числова послідовність має суму, то кілька простих викладок дадуть нам формулу, що дозволяє обчислити суму перших членів прогресії, а саме:

Відео: Алгебра 11 клас - Нескінченно спадна геометрична прогресія

S n = - (z n * q - z 1) / (1 - q).

Замінивши у формулі значення z n його виразом z 1 * q ^ (n-1), отримують другу формулу суми даної прогресії: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Відео: Арифметична і геометрична прогресії

Вартий уваги наступний цікавий факт: глиняна табличка, знайденої при розкопках Стародавнього Вавилона, яка відноситься до VI ст. до нашої ери, чудовим чином містить суму 1 + 2 + 22 + ... + 29, еквівалентну 2 в десятій ступені мінус 1. Розгадка цього феномена поки не знайдена.

Відзначимо ще одне із властивостей геометричній прогресії - постійне твір її членів, віддалених на рівній відстані від кінців послідовності.

Особливу важливість з наукової точки зору являє таке поняття, як нескінченна геометрична прогресія та обчислення її суми. Якщо припустити, що (y n) - геометричну прогресію, має знаменник q, що задовольняє умові | q | lt; 1, то її сумою буде називатися межа, до якого прагне відома вже нам сума її перших членів, при необмеженому зростанні n, тобто при його наближенні до нескінченності.

Знаходять цю суму в підсумку за допомогою формули:

S n = y 1 / (1 q).

І, як показала практика, за видимою простотою цієї прогресії прихований величезний прикладної потенціал. Наприклад, якщо побудувати послідовність квадратів за наступним алгоритмом, поєднуючи середини сторін попереднього, то їх площі утворюють нескінченну геометричну прогресію, що має знаменник 1/2. Таку ж прогресію утворюють і площі трикутників, які утворюються на кожному етапі побудови, причому її сума дорівнює площі первісного квадрата.